三角形ABCにおいて、$a=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $B=30^\circ$のとき、残りの辺の長さ$b$と角の大きさ$A$, $C$を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $B=30^\circ$のとき、残りの辺の長さ$b$と角の大きさ$A$, $C$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$b$を余弦定理を用いて求めます。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$b^2 = 2^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2(2)(1+\sqrt{3})\cos 30^\circ$

$b^2 = 4 + (1+2\sqrt{3}+3) - 4(1+\sqrt{3})\frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}(1+\sqrt{3})$

$b^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 6$

$b^2 = 2$

$b = \sqrt{2}$

次に、正弦定理を用いて$A$を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{2}{\sin A} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

$\frac{2}{\sin A} = \frac{\sqrt{2}}{1/2}$

$\frac{2}{\sin A} = 2\sqrt{2}$

$\sin A = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$A = 45^\circ$ または $A = 135^\circ$

$A=135^\circ$の場合、$A+B=135^\circ+30^\circ=165^\circ$となるので、$C=180^\circ-165^\circ=15^\circ$となり、三角形が成立します。

$A=45^\circ$の場合、$A+B=45^\circ+30^\circ=75^\circ$となるので、$C=180^\circ-75^\circ=105^\circ$となり、三角形が成立します。

$c>a>b$なので、$C>A>B$です。

$A=45^\circ$のとき、$C=105^\circ$となり、$C>A>B$を満たします。

$A=135^\circ$のとき、$C=15^\circ$となり、$C>A>B$を満たしません。

したがって、$A=45^\circ$、$C=105^\circ$です。

3. 最終的な答え

$b = \sqrt{2}$

$A = 45^\circ$

$C = 105^\circ$