曲線 $y = -x^3 + 3x^2 + x - 1$ 上の点 $(-1, 2)$ における法線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^3 + 3x^2 + x - 1$ 上の点 $(-1, 2)$ における法線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: 関数の微分を計算します。

$y = -x^3 + 3x^2 + x - 1$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = -3x^2 + 6x + 1$

ステップ2: 点 $(-1, 2)$ における接線の傾きを計算します。

$x = -1$ を $\frac{dy}{dx}$ に代入します。

$\frac{dy}{dx}|_{x=-1} = -3(-1)^2 + 6(-1) + 1 = -3 - 6 + 1 = -8$

したがって、点 $(-1, 2)$ における接線の傾きは $-8$ です。

ステップ3: 点 $(-1, 2)$ における法線の傾きを計算します。

法線の傾きは、接線の傾きの負の逆数です。

したがって、法線の傾きは $\frac{-1}{-8} = \frac{1}{8}$ です。

ステップ4: 点 $(-1, 2)$ を通り、傾きが $\frac{1}{8}$ の直線の方程式を求めます。

直線の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で与えられます。

ここで、$(x_1, y_1) = (-1, 2)$ であり、$m = \frac{1}{8}$ です。

したがって、直線の方程式は次のようになります。

$y - 2 = \frac{1}{8}(x - (-1))$

$y - 2 = \frac{1}{8}(x + 1)$

$y = \frac{1}{8}x + \frac{1}{8} + 2$

$y = \frac{1}{8}x + \frac{1}{8} + \frac{16}{8}$

$y = \frac{1}{8}x + \frac{17}{8}$

ステップ5: 法線の方程式を整理します。

$8y = x + 17$

$x - 8y + 17 = 0$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{8}x + \frac{17}{8}$ あるいは $x - 8y + 17 = 0$