関数 $y = -\frac{1}{3}x + 4$ のグラフ上に点A(3, 3)があり、このグラフとy軸との交点をBとする。また、関数 $y = -\frac{1}{3}x$ のグラフ上を $x < 0$ の範囲で動く点C、y軸上に点D(0, 3)がある。 (1) 四角形ABCOが平行四辺形となるとき、点Cの座標を求めよ。 (2) 点Dを通り、三角形ABOの面積を2等分する直線の式を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -\frac{1}{3}x + 4$ のグラフ上に点A(3, 3)があり、このグラフとy軸との交点をBとする。また、関数 $y = -\frac{1}{3}x$ のグラフ上を $x < 0$ の範囲で動く点C、y軸上に点D(0, 3)がある。

(1) 四角形ABCOが平行四辺形となるとき、点Cの座標を求めよ。

(2) 点Dを通り、三角形ABOの面積を2等分する直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 四角形ABCOが平行四辺形となる条件を考える。平行四辺形の対辺は平行かつ長さが等しいので、$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OC}$ が成り立つ。点Bは $y = -\frac{1}{3}x + 4$ のy切片なので、B(0, 4)。したがって、$\overrightarrow{BA} = (3 - 0, 3 - 4) = (3, -1)$。点Cの座標を(x, y)とすると、$\overrightarrow{OC} = (x, y)$。よって、$(x, y) = (3, -1)$。しかし、点Cは $y = -\frac{1}{3}x$ のグラフ上にあるので、点Cのy座標は $-\frac{1}{3}$倍のx座標となるはずである。上記の点Cは条件を満たさない。

平行四辺形ABCOにおいて, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CO}$ が成り立つときを考える。 $\overrightarrow{AB} = (0 - 3, 4 - 3) = (-3, 1)$. 点Cの座標を(x, y)とすると, $\overrightarrow{CO} = (0-x, 0-y) = (-x, -y)$. よって, $(-x, -y) = (-3, 1)$. $x=3, y = -1$. この点も $y = -\frac{1}{3}x$ のグラフ上にないので条件を満たさない.

したがって、$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AO}$ を考える。

点O(0,0)、点A(3,3)なので、$\overrightarrow{AO}=(3,3)$

点B(0,4)、点C(x,y)なので、$\overrightarrow{BC}=(x,y-4)$

平行四辺形となるには、$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AO}$であればよく、

$(x,y-4)=(3,3)$なので、

$x=3$, $y=7$

これは、$y = -\frac{1}{3}x$ 上にない。

平行四辺形ABOCを考えると、$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CO}$

点B(0,4)、点A(3,3)なので、$\overrightarrow{BA} = (3, -1)$

点C(x,y), 点O(0,0)なので、$\overrightarrow{CO} = (-x,-y)$

よって、$(-x,-y)=(3,-1)$なので、$x=-3$, $y=1$

これは、$y = -\frac{1}{3}x$上にあり、$y=-\frac{1}{3}(-3)=1$を満たす。

したがって、点Cの座標は、(-3,1)

(2) 点D(0, 3)を通り、三角形ABOの面積を2等分する直線の式を求める。点Dを通るので、直線はy軸との交点を持つ。三角形ABOの面積は $\frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$。 面積を2等分するので、面積が3になるように直線を引く。

三角形ABOの底辺をBOとみると、BOの長さは4。

点Aからy軸までの距離は３

点D(0,3)を通る直線と線分ABの交点をPとすると、三角形DBOの面積を考える。直線DPが三角形ABOを2等分するためには、直線DPによって作られる三角形の面積が3になればよい。

直線ABの式は、傾きが$\frac{3-4}{3-0} = -\frac{1}{3}$なので、$y = -\frac{1}{3}x + 4$

線分ABと、点Dを通る直線との交点をPとする。直線DPの式を$y = ax + 3$とする。点Pは直線DPと直線ABの交点なので、$-\frac{1}{3}x + 4 = ax + 3$。よって、$(\frac{1}{3} + a)x = 1$。したがって、$x = \frac{1}{\frac{1}{3} + a} = \frac{3}{1+3a}$。このとき、$y = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{1+3a} + 4 = -\frac{1}{1+3a} + 4 = \frac{-1 + 4(1+3a)}{1+3a} = \frac{3+12a}{1+3a}$。

三角形DBOの面積は$\frac{1}{2} \times DB \times x_P = 3$となるはずなので、$\frac{1}{2} \times 1 \times \frac{3}{1+3a} = 3$。したがって、$\frac{3}{2(1+3a)} = 3$。$3 = 6(1+3a)$、$1 = 2(1+3a)$、$1 = 2 + 6a$、$-1 = 6a$、$a = -\frac{1}{6}$。

したがって、求める直線の式は $y = -\frac{1}{6}x + 3$

3. 最終的な答え

(1) 点Cの座標: (-3, 1)

(2) 直線の式: $y = -\frac{1}{6}x + 3$