図の四角形ABCDにおいて、∠A=60°, ∠D=45°, AB=√10, CD=√3, BC=√6であるとき、∠Cの大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

図の四角形ABCDにおいて、∠A=60°, ∠D=45°, AB=√10, CD=√3, BC=√6であるとき、∠Cの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、△ABDにおいて余弦定理を用いると、BDの長さ（図ではa）が求まります。

$a^2 = (\sqrt{10})^2 + (\frac{a \sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{a \sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} \cos 60^{\circ}$

しかし、これは複雑になるので、別のアプローチを試みます。

△ABDにおいて正弦定理を用いると、

$\frac{BD}{\sin A} = \frac{AB}{\sin D}$

$BD = \frac{AB \sin A}{\sin D} = \frac{\sqrt{10} \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{10} \sqrt{3} \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{60}}{2} = \frac{2\sqrt{15}}{2} = \sqrt{15}$

したがって、$BD = \sqrt{15}$です。

次に、△BCDにおいて余弦定理を用いると、∠Cの余弦が求まります。

$\cos C = \frac{BC^2 + CD^2 - BD^2}{2 \cdot BC \cdot CD} = \frac{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{15})^2}{2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6+3-15}{2 \cdot \sqrt{18}} = \frac{-6}{2 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos C = -\frac{\sqrt{2}}{2}$より、$C = 135^{\circ}$

3. 最終的な答え

∠C = 135°