一辺の長さが3の正四面体ABCDにおいて、辺BCを1:2に内分する点をPとするとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 線分APの長さを求める。 (2) ∠APD = θ とおくとき、sinθ の値を求める。 (3) 三角形 APD の面積 S を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体ABCDにおいて、辺BCを1:2に内分する点をPとするとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 線分APの長さを求める。

(2) ∠APD = θ とおくとき、sinθ の値を求める。

(3) 三角形 APD の面積 S を求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分APの長さを求める。

三角形ABCにおいて、点Pは辺BCを1:2に内分するので、BP = 1, PC = 2 となる。

三角形ABCは正三角形なので、AB = BC = CA = 3 である。

三角形ABPに余弦定理を用いると、

$AP^2 = AB^2 + BP^2 - 2 \cdot AB \cdot BP \cdot \cos{60^\circ}$

$AP^2 = 3^2 + 1^2 - 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}$

$AP^2 = 9 + 1 - 3 = 7$

$AP = \sqrt{7}$

(2) sinθ の値を求める。

同様に、三角形DCPに余弦定理を用いると、

$DP^2 = DC^2 + CP^2 - 2 \cdot DC \cdot CP \cdot \cos{60^\circ}$

$DP^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$

$DP^2 = 9 + 4 - 6 = 7$

$DP = \sqrt{7}$

三角形APDにおいて、AP = DP = $\sqrt{7}$ であり、AD = 3である。余弦定理を用いると、

$\cos{\theta} = \frac{AP^2 + DP^2 - AD^2}{2 \cdot AP \cdot DP}$

$\cos{\theta} = \frac{7 + 7 - 9}{2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}$

$\cos{\theta} = \frac{5}{14}$

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ より

$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta} = 1 - (\frac{5}{14})^2 = 1 - \frac{25}{196} = \frac{171}{196}$

$\sin{\theta} = \sqrt{\frac{171}{196}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 19}{196}} = \frac{3\sqrt{19}}{14}$

(3) 三角形 APD の面積 S を求める。

$S = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot DP \cdot \sin{\theta}$

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{3\sqrt{19}}{14} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \frac{3\sqrt{19}}{14} = \frac{3\sqrt{19}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $AP = \sqrt{7}$

(2) $sin\theta = \frac{3\sqrt{19}}{14}$

(3) $S = \frac{3\sqrt{19}}{4}$