長方形ABCDにおいて、辺BCの中点をMとする。点P, QはそれぞれA, Dを毎秒1cmの速さで同時に出発し、点PはBを通って、点QはCを通ってともにMまで周上を動く。2点P, Qが動き始めてから$x$秒後における四角形APQD（点Pと点Qが重なったときは、三角形APD)の面積を$y$ cm$^2$とする。このとき、以下の問いに答える。 (1) 4秒後における四角形APQDの面積を求める。 (2) 点Pが線分BM上を動くとき、$y$を$x$の式で表し、そのときの$x$の変域を求める。 (3) 2点P, QがそれぞれA, Dを出発し、辺BCの中点Mまで進んだときの$x$と$y$の関係を表したグラフをア〜エのうちから選ぶ。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、辺BCの中点をMとする。点P, QはそれぞれA, Dを毎秒1cmの速さで同時に出発し、点PはBを通って、点QはCを通ってともにMまで周上を動く。2点P, Qが動き始めてから$x$秒後における四角形APQD（点Pと点Qが重なったときは、三角形APD)の面積を$y$ cm$^2$とする。このとき、以下の問いに答える。

(1) 4秒後における四角形APQDの面積を求める。

(2) 点Pが線分BM上を動くとき、$y$を$x$の式で表し、そのときの$x$の変域を求める。

(3) 2点P, QがそれぞれA, Dを出発し、辺BCの中点Mまで進んだときの$x$と$y$の関係を表したグラフをア〜エのうちから選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 4秒後における四角形APQDの面積を求める。

点PはAからBを通って4秒後にいる位置を考える。ABの長さは3cmなので、ABを通過するのに3秒かかる。よって、4秒後にはPはBM上にいる。BMの長さはBCの半分であり、BC = AD = 6cm なので、BM = 3cm。したがって、4秒後にはPはBから1cm進んだ位置にいる。APの長さは、三平方の定理より、

$AP = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$

また、点QはDからCを通って4秒後にいる位置を考える。DCの長さは6cmなので、4秒後にはQはCD上にいて、Dから4cm進んだ位置にいる。よって、DQ = 4cm。

四角形APQDの面積は、長方形ABCDの面積から三角形ABPと三角形CDQの面積を引いたものと考える。

長方形ABCDの面積は、 $3 \times 6 = 18$ cm$^2$。

三角形ABPの面積は、$AB \times BP / 2 = 3 \times 1 / 2 = 1.5$ cm$^2$。

三角形CDQの面積は、$CD \times DQ / 2 = 3 \times 4 / 2 = 6$ cm$^2$。

よって、四角形APQDの面積は、$18 - 1.5 - 6 = 10.5$ cm$^2$。

(2) 点Pが線分BM上を動くとき、$y$を$x$の式で表し、そのときの$x$の変域を求める。

PがBM上を動くとき、$x$秒後のBPの長さは、$x - 3$となる。

このとき、三角形APDの面積は、

$y = \frac{1}{2} \times AD \times AB + \frac{1}{2} \times AD \times BP = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 + \frac{1}{2} \times 6 \times (x-3) = 9+3(x-3) = 9+3x-9 = 3x$.

ただし、三角形APDではなく、四角形APQDの面積を$y$とするので、長方形ABCDの面積から三角形ABPと三角形CDQの面積を引けば良い。

APQD = ABCD - ABP - CDQ

= $3 \times 6 - (3(x-3)/2) - (3(x-4)/2) = 18 - (3x-9)/2 - (3x-12)/2 = 18 - (6x - 21)/2 = 18 - 3x + 10.5 = 28.5 - 3x$。

$y=28.5-3x$

$x$の変域は、PがBに到着するのが3秒後で、Mに到着するのが6秒後であるから、$3 \le x \le 6$。

(3) 2点P, QがそれぞれA, Dを出発し、辺BCの中点Mまで進んだときの$x$と$y$の関係を表したグラフを選ぶ。

PがAB上にあるとき ($0 \le x \le 3$)、$y$は増加関数。

PがBM上にあるとき ($3 \le x \le 6$)、$y$は減少関数。

グラフはイ。

3. 最終的な答え

(1) 10.5 cm$^2$

(2) $y=28.5-3x$, $3 \le x \le 6$

(3) イ