(1) 直線 $l$ 上の点Aと、$l$ 上にない点Bが与えられている。Aを通り、$l$ に垂直な直線上にあって、$\angle ABP = 60^\circ$ となる点Pを作図する。 (2) $\triangle ABC$ が与えられている。辺BC上に点Pをとり、$\angle APC = 2\angle ABC$ となる点Pを作図する。

1. 問題の内容

(1) 直線 $l$ 上の点Aと、$l$ 上にない点Bが与えられている。Aを通り、$l$ に垂直な直線上にあって、$\angle ABP = 60^\circ$ となる点Pを作図する。

(2) $\triangle ABC$ が与えられている。辺BC上に点Pをとり、$\angle APC = 2\angle ABC$ となる点Pを作図する。

2. 解き方の手順

(1) 点Aを通り、直線 $l$ に垂直な線を作図する。これは、Aを中心として適当な半径の円を描き、$l$ との交点を2つ作る。その2つの交点からそれぞれ同じ半径（ただし、Aからの距離より大きいこと）で円弧を描き、その交点とAを通る直線を引けばよい。この直線は $l$ に垂直になる。

次に、点Bから直線 $l$ に垂直な線へ向かって角度 $60^\circ$ の線分を引く。垂直な直線上の点Aから点Bを見込む角が $60^\circ$ になるようにすればよい。

Aを中心として適当な半径の円を描き、直線 $l$ との交点をDとする。次に、Dを中心として同じ半径の円を描き、最初の円との交点をEとする。AとEを結べば $60^\circ$ の角ができる。

次に、点Bから点Aを通って、先ほどの垂直な線との交点が点Pとなる。

(2) $\angle ABC$ を測り、その2倍の角度の角を作図する。例えば、$\angle ABC = \theta$とすると、$\angle APC = 2\theta$ となるような点Pを見つければよい。

まず、$\angle ABC$ をコンパスを使って写し取る。次に、その角度を2倍にした角度$\angle ABE$ を作図する。

$\angle ABC = \theta$とすると、$\angle ABE = 2\theta$となる。EはBC上にはない。

次に、点Bを中心とした円を描き、辺BCと交わる点をDとする。Dを中心として、適当な半径の円弧を描く。同じ半径で、Cを中心として円弧を描く。$\angle BAC$の二等分線を描く。この二等分線と辺BCの交点が点Pとなる。

3. 最終的な答え

(1) 点Aを通り直線 $l$ に垂直な線と、$\angle ABP = 60^\circ$ となる点Pを作図した。

(2) $\angle APC = 2 \angle ABC$となる点Pを作図した。