三角形ABCにおいて、与えられた情報から残りの辺の長さと角の大きさを求める問題です。 (1) $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$, $b = \sqrt{2}$ (2) $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{3}-1$, $C = 135^\circ$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた情報から残りの辺の長さと角の大きさを求める問題です。

(1) $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$, $b = \sqrt{2}$

(2) $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{3}-1$, $C = 135^\circ$

2. 解き方の手順

(1)

まず、角Cを求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

次に、正弦定理を使って辺aを求めます。正弦定理は、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

これより、

$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{\sqrt{2} \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

最後に、正弦定理を使って辺cを求めます。正弦定理は、

$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}$

これより、

$c = \frac{b \sin C}{\sin B} = \frac{\sqrt{2} \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}$

ここで、$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

したがって、

$c = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

(2)

余弦定理より、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$c^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3}-1)^2 - 2 \sqrt{2} (\sqrt{3}-1) \cos 135^\circ$

$c^2 = 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{3}-1) (-\frac{1}{\sqrt{2}})$

$c^2 = 6 - 2\sqrt{3} + 2(\sqrt{3} - 1) = 6 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2 = 4$

$c = 2$

次に、正弦定理を使って角Aを求めます。

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{c}$

$\sin A = \frac{a \sin C}{c} = \frac{\sqrt{2} \sin 135^\circ}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 30^\circ$

最後に、角Bを求めます。

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{3}$, $c = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$, $C = 75^\circ$

(2) $c = 2$, $A = 30^\circ$, $B = 15^\circ$