半径 $r$ cm、中心角 $a$ 度のおうぎ形がある。弧の長さを $l$ cm、面積を $S$ cm$^2$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $l$ を $a, r$ で表す。 (2) $S$ を $a, r$ で表す。 (3) $a$ を $l, r$ で表す。 (4) $S$ を $l, r$ で表す。

1. 問題の内容

半径 $r$ cm、中心角 $a$ 度のおうぎ形がある。弧の長さを $l$ cm、面積を $S$ cm$^2$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $l$ を $a, r$ で表す。

(2) $S$ を $a, r$ で表す。

(3) $a$ を $l, r$ で表す。

(4) $S$ を $l, r$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) 弧の長さ $l$ は、円周の $\frac{a}{360}$ であるから、

$$l = 2\pi r \times \frac{a}{360}$$

$$l = \frac{\pi r a}{180}$$

(2) 面積 $S$ は、円の面積の $\frac{a}{360}$ であるから、

$$S = \pi r^2 \times \frac{a}{360}$$

$$S = \frac{\pi r^2 a}{360}$$

(3) (1) より、$l = \frac{\pi r a}{180}$ であるから、これを $a$ について解くと、

$$a = \frac{180l}{\pi r}$$

(4) (1) より、$l = \frac{\pi r a}{180}$ であるから、$\pi a = \frac{180l}{r}$。

(2) より、$S = \frac{\pi r^2 a}{360}$ であるから、$\pi a$ を代入すると、

$$S = \frac{r^2}{360} \times \frac{180l}{r} = \frac{180 r^2 l}{360 r} = \frac{r l}{2}$$

$$S = \frac{1}{2} r l$$

3. 最終的な答え

(1) $l = \frac{\pi r a}{180}$

(2) $S = \frac{\pi r^2 a}{360}$

(3) $a = \frac{180l}{\pi r}$

(4) $S = \frac{1}{2} r l$