長方形ABCDがあり、縦2cm、横6cmです。点Pと点Qは点Aを同時に出発します。点Pは毎秒2cm、点Qは毎秒0.5cmの速さで長方形の辺上を矢印の方向に進みます。出発からx秒後の三角形APQの面積をy cm^2とします。 (1) 点Pと点Qが出会うときのxの値を求めます。 (2) 点Pと点Qが出会うまでのyをxの式で表し、そのときのxの変域を求めます。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題のうち、最初の問題（長方形ABCDに関する問題）を解きます。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、縦2cm、横6cmです。点Pと点Qは点Aを同時に出発します。点Pは毎秒2cm、点Qは毎秒0.5cmの速さで長方形の辺上を矢印の方向に進みます。出発からx秒後の三角形APQの面積をy cm^2とします。

(1) 点Pと点Qが出会うときのxの値を求めます。

(2) 点Pと点Qが出会うまでのyをxの式で表し、そのときのxの変域を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

点PはAB上を進み、点QはAD上、DC上を進みます。点Pと点Qが出会うのは、点PがAB上を往復し、点QがAD,DC,CB上を進んだときです。

点PがBに到達するまでの時間は $6 \div 2 = 3$ 秒です。BからAに戻るまでの時間も3秒なので、点PがAに戻るのは出発から6秒後です。

点QはAD, DC, CBを順に進みます。AD,DC,CBの長さはそれぞれ2cm, 6cm, 2cmなので、点QがAからBに向かう距離は$2+6+2 = 10$cmです。

点QがBに到達するまでの時間は $10 \div 0.5 = 20$秒です。

したがって、点Pと点Qが出会うのは、20秒後です。

(2)

まず、点PがAB上にあるとき（$0 \le x \le 3$）、APの長さは$2x$cm、AQの長さは$0.5x$cmなので、

$y = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 0.5x = 0.5x^2$ となります。

$0 \le x \le 3$のとき、$y = 0.5x^2$です。

次に、点PがBA上にあるとき（$3 \le x \le 6$）、APの長さは$2 \cdot 6 - 2x = 12-2x$cm、AQの長さは$0.5x$cmなので、$y = \frac{1}{2} \cdot (12-2x) \cdot 0.5x = 3x-0.5x^2$となります。

$3 \le x \le 6$のとき、$y = 3x-0.5x^2$です。

最後に、$x$の変域ですが、点Pと点Qが出会うまでなので、$0 \le x \le 20$です。

ただし、点QはAD, DC, CB上を進みますので、

AD上を移動しているとき($0 \le x \le 4$)は$y = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 0.5x = 0.5x^2$

DC上を移動しているとき($4 \le x \le 16$)は$y = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 2 = 2x$

CB上を移動しているとき($16 \le x \le 20$)は$y = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 2 = 2x$

3. 最終的な答え

(1) $x = 20$

(2) $0 \le x \le 3$ のとき $y = 0.5x^2$

$3 \le x \le 6$ のとき $y = 3x - 0.5x^2$

$0 \le x \le 20$