図において、$\angle A = 60^{\circ}$, $\angle D = 45^{\circ}$, $AB = \sqrt{2}$, $BC = 1$, $CD = 2$であるとき、$\angle C$ の大きさを求める。ただし、$BD = a$とする。

1. 問題の内容

図において、$\angle A = 60^{\circ}$, $\angle D = 45^{\circ}$, $AB = \sqrt{2}$, $BC = 1$, $CD = 2$であるとき、$\angle C$ の大きさを求める。ただし、$BD = a$とする。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABD$に着目し、正弦定理を用いる。

$\frac{a}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}}$

$a = \frac{\sqrt{2} \sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3}$

次に、$\triangle BCD$に着目し、余弦定理を用いる。

$2^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cos \angle C$

$4 = 1 + 3 - 2\sqrt{3} \cos \angle C$

$0 = - 2\sqrt{3} \cos \angle C$

$\cos \angle C = 0$

$\angle C = 90^{\circ}$

3. 最終的な答え

∠C=90°