三角形ABCがあり、$AB=8$, $AC=7$, $BC=5$である。三角形ABCの外接円の中心をOとする。 (1) (i) 余弦定理を用いて、$\cos{\angle BAC}$の値を求める。 (ii) 線分OAの長さを求める。 (iii) 三角形ABCの面積を求める。 (2) 直線AOと三角形ABCの外接円との交点で、Aとは異なる点をDとする。 (i) $\cos{\angle BDC}$の値を求める。 (ii) 三角形BDCの面積を求める。 (iii) 三角形BDCの内接円の半径を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$AB=8$, $AC=7$, $BC=5$である。三角形ABCの外接円の中心をOとする。

(1)

(i) 余弦定理を用いて、$\cos{\angle BAC}$の値を求める。

(ii) 線分OAの長さを求める。

(iii) 三角形ABCの面積を求める。

(2) 直線AOと三角形ABCの外接円との交点で、Aとは異なる点をDとする。

(i) $\cos{\angle BDC}$の値を求める。

(ii) 三角形BDCの面積を求める。

(iii) 三角形BDCの内接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) (i) 余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC) \cos{\angle BAC}$

$5^2 = 8^2 + 7^2 - 2(8)(7) \cos{\angle BAC}$

$25 = 64 + 49 - 112 \cos{\angle BAC}$

$112 \cos{\angle BAC} = 88$

$\cos{\angle BAC} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14}$

(ii) 正弦定理より、$\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = 2R$。

$\sin^2{\angle BAC} + \cos^2{\angle BAC} = 1$より、

$\sin^2{\angle BAC} = 1 - \left(\frac{11}{14}\right)^2 = 1 - \frac{121}{196} = \frac{75}{196}$

$\sin{\angle BAC} = \sqrt{\frac{75}{196}} = \frac{5\sqrt{3}}{14}$

$2R = \frac{5}{\frac{5\sqrt{3}}{14}} = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

線分OAの長さは外接円の半径Rに等しいので、

$OA = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(iii) 三角形ABCの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} (AB)(AC) \sin{\angle BAC} = \frac{1}{2} (8)(7) \left(\frac{5\sqrt{3}}{14}\right) = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

(2) (i) 円周角の定理より、$\angle BDC = \angle BAC$.

よって、$\cos{\angle BDC} = \cos{\angle BAC} = \frac{11}{14}$

(ii) $\sin{\angle BDC} = \sin{\angle BAC} = \frac{5\sqrt{3}}{14}$

三角形BDCの面積S'は、

$S' = \frac{1}{2} (BD)(DC) \sin{\angle BDC}$

方べきの定理より、

$AD \times AO = AB \times AC$

$BD \times DC = AD \times OD = AD \times AO$

$AB \times AC= BD \times DC$

$BD \times DC = 8 \times 7 = 56$

$S' = \frac{1}{2} (56) \left(\frac{5\sqrt{3}}{14}\right) = 20\sqrt{3}/2 = 10\sqrt{3}$

(iii) 三角形BDCの内接円の半径をrとする。

$BC = 5, BD, CD$を求める

$\triangle ABC$の面積を求める

$AD = 2R = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

$AO = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

$OD = R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

余弦定理より、$BD^2 = BC^2 + CD^2 -2 \times BC \times CD \cos {\angle BCD}$

$\angle BCD = \angle BAD, \angle BAD = \pi - \angle BAC$

$S=\frac{1}{2}(BD+CD+BC)r$

$5^2 = BD^2 + CD^2 -2BD \times CD cos\angle BDC$

$S = \frac{5+BD+CD}{2}r$

最終的に求められませんでした。

3. 最終的な答え

(1)

(i) $\cos{\angle BAC} = \frac{11}{14}$

(ii) $OA = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(iii) $S_{ABC} = 10\sqrt{3}$

(2)

(i) $\cos{\angle BDC} = \frac{11}{14}$

(ii) $S_{BDC} = 10\sqrt{3}$

(iii) 解けませんでした。