与えられた図において、∠Aの角度を求める問題です。三角形ABDと三角形BCDは直角三角形であり、各辺の長さと∠D、∠Cの角度が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた図において、∠Aの角度を求める問題です。三角形ABDと三角形BCDは直角三角形であり、各辺の長さと∠D、∠Cの角度が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、三角形BCDに着目します。

∠BCD = 60°、∠DBC = 90°であることから、∠BDC = 180° - 90° - 60° = 30°となります。

次に、三角形ABDに着目します。∠ABD = 90°であり、AD = $6\sqrt{7}$、AB = $3\sqrt{7}$です。

tan∠BAD = BD/ABなので、

$tan∠BAD = \frac{21}{3\sqrt{7}} = \frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}$

∠BAD = arctan($\sqrt{7}$)

三角形ABCにおいて、∠ABC=90°、∠ACB=60°なので、∠BACを求める。

三角形の内角の和は180°なので、

∠BAC = 180°-90°-60°=30°

正弦定理を使って∠Aを求める。

$\frac{BC}{sin∠A} = \frac{AB}{sin∠C}$

$\frac{7\sqrt{3}}{sin∠A} = \frac{3\sqrt{7}}{sin60°}$

$sin∠A = \frac{7\sqrt{3}sin60°}{3\sqrt{7}}$

$sin∠A = \frac{7\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{7}}$

$sin∠A = \frac{7*3}{2*3\sqrt{7}} = \frac{7}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

$\frac{\sqrt{7}}{2}$の値は存在しないので、計算に間違いがある。

三角形ABDに着目します。∠ABD = 90°であり、AD = $6\sqrt{7}$、AB = $3\sqrt{7}$です。

$\sin∠ADB = \frac{AB}{AD}$

$\sin∠ADB = \frac{3\sqrt{7}}{6\sqrt{7}} = \frac{1}{2}$

よって、∠ADB = 30°

三角形の内角の和は180°なので、三角形ADCにおいて、

∠DAC = 180° - ∠ADC - ∠ACD = 180° - (30° + 30°) - 60° = 180° - 60° - 60° = 60°

∠BACを求める。三角形ABDに着目すると、∠BAD + ∠ADB + ∠DBA = 180°

∠BAD + 30° + 90° = 180°

∠BAD = 60°

∠BAC = ∠BAD + ∠DAC

∠BAC = 60° + 60° = 120°

3. 最終的な答え

120