原点を中心とする半径1の円の第1象限にある部分をCとする。C上に3点P, Q, Rがあり、それらの座標をそれぞれ $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, Rとする。$2y_1 = y_2$ かつ $\angle AOP = 4\angle AOR$ を満たしている。直線OQと直線$y=1$の交点をQ', 直線ORと直線$y=1$の交点をR'とする。$\angle AOP = \theta$とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) 点Qの座標を$\theta$を用いて表せ。 (2) 点Q'と点R'の座標を$\theta$を用いて表せ。 (3) 点Pが点Aに限りなく近づくとき、$\frac{BR'}{BQ'}$の極限を求めよ。

1. 問題の内容

原点を中心とする半径1の円の第1象限にある部分をCとする。C上に3点P, Q, Rがあり、それらの座標をそれぞれ $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, Rとする。$2y_1 = y_2$ かつ $\angle AOP = 4\angle AOR$ を満たしている。直線OQと直線$y=1$の交点をQ', 直線ORと直線$y=1$の交点をR'とする。$\angle AOP = \theta$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) 点Qの座標を$\theta$を用いて表せ。

(2) 点Q'と点R'の座標を$\theta$を用いて表せ。

(3) 点Pが点Aに限りなく近づくとき、$\frac{BR'}{BQ'}$の極限を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Qの座標を$\theta$を用いて表す。

$\angle AOP = \theta$ である。$P$は円周上の点なので、$P(\cos\theta, \sin\theta)$。よって、$x_1 = \cos\theta, y_1 = \sin\theta$。

$2y_1 = y_2$ より $y_2 = 2\sin\theta$。

$Q$は円周上の点なので、$x_2^2 + y_2^2 = 1$ を満たす。

よって、$x_2^2 + (2\sin\theta)^2 = 1$。

$x_2^2 = 1 - 4\sin^2\theta$。

$x_2 = \sqrt{1-4\sin^2\theta}$。

$Q(\sqrt{1-4\sin^2\theta}, 2\sin\theta)$.

(2) 点Q'と点R'の座標を$\theta$を用いて表す。

$\angle AOP = 4\angle AOR$ より、$\angle AOR = \frac{\theta}{4}$。よって、$R(\cos\frac{\theta}{4}, \sin\frac{\theta}{4})$。

直線$OR$の傾きは、$\frac{\sin(\theta/4)}{\cos(\theta/4)} = \tan(\frac{\theta}{4})$。

直線$OR$の方程式は、$y = \tan(\frac{\theta}{4})x$。

$R'$は直線$y=1$との交点なので、$1 = \tan(\frac{\theta}{4})x$。

$x = \frac{1}{\tan(\frac{\theta}{4})} = \cot(\frac{\theta}{4})$。

よって、$R'(\cot(\frac{\theta}{4}), 1)$。

直線$OQ$の傾きは、$\frac{2\sin\theta}{\sqrt{1-4\sin^2\theta}}$。

直線$OQ$の方程式は、$y = \frac{2\sin\theta}{\sqrt{1-4\sin^2\theta}}x$。

$Q'$は直線$y=1$との交点なので、$1 = \frac{2\sin\theta}{\sqrt{1-4\sin^2\theta}}x$。

$x = \frac{\sqrt{1-4\sin^2\theta}}{2\sin\theta}$。

よって、$Q'(\frac{\sqrt{1-4\sin^2\theta}}{2\sin\theta}, 1)$。

(3) 点Pが点Aに限りなく近づくとき、$\frac{BR'}{BQ'}$の極限を求める。

$B(0, 1)$なので、$BR' = \sqrt{(\cot(\frac{\theta}{4}) - 0)^2 + (1-1)^2} = \cot(\frac{\theta}{4})$。

$BQ' = \sqrt{(\frac{\sqrt{1-4\sin^2\theta}}{2\sin\theta} - 0)^2 + (1-1)^2} = \frac{\sqrt{1-4\sin^2\theta}}{2\sin\theta}$。

$\frac{BR'}{BQ'} = \frac{\cot(\frac{\theta}{4})}{\frac{\sqrt{1-4\sin^2\theta}}{2\sin\theta}} = \frac{\frac{\cos(\theta/4)}{\sin(\theta/4)}}{\frac{\sqrt{1-4\sin^2\theta}}{2\sin\theta}} = \frac{2\sin\theta\cos(\theta/4)}{\sin(\theta/4)\sqrt{1-4\sin^2\theta}}$。

$\theta \to 0$ のとき、$\sin\theta \approx \theta$, $\sin(\theta/4) \approx \theta/4$, $\cos(\theta/4) \approx 1$ と近似できる。

$\lim_{\theta \to 0} \frac{BR'}{BQ'} = \lim_{\theta \to 0} \frac{2\theta}{\frac{\theta}{4}\sqrt{1-4(0)}} = \lim_{\theta \to 0} \frac{2\theta}{\theta/4} = 8$。

3. 最終的な答え

(1) $Q(\sqrt{1-4\sin^2\theta}, 2\sin\theta)$

(2) $Q'(\frac{\sqrt{1-4\sin^2\theta}}{2\sin\theta}, 1)$, $R'(\cot(\frac{\theta}{4}), 1)$

(3) 8