関数 $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$ の極大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$ の極大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

* ステップ1: 導関数を求める

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4$

* ステップ2: 導関数が0になる点を求める

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。これは極値の候補となる点です。

$3x^2 - 8x + 4 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解すると、

$(3x - 2)(x - 2) = 0$

したがって、$x = \frac{2}{3}$ または $x = 2$

* ステップ3: 二階導関数を求める

次に、$f(x)$ の二階導関数 $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = 6x - 8$

* ステップ4: 極大値を判定する

ステップ2で求めた各$x$について、$f''(x)$ の符号を調べます。$f''(x) < 0$ ならば極大、$f''(x) > 0$ ならば極小、$f''(x) = 0$ ならば判定不能です。

$x = \frac{2}{3}$ のとき、

$f''\left(\frac{2}{3}\right) = 6\left(\frac{2}{3}\right) - 8 = 4 - 8 = -4 < 0$

したがって、$x = \frac{2}{3}$ で極大値をとります。

$x = 2$ のとき、

$f''(2) = 6(2) - 8 = 12 - 8 = 4 > 0$

したがって、$x = 2$ で極小値をとります。

* ステップ5: 極大値を計算する

$x = \frac{2}{3}$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 4\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - 4\left(\frac{4}{9}\right) + \frac{8}{3} = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8}{3} = \frac{8 - 48 + 72}{27} = \frac{32}{27}$

3. 最終的な答え

極大値は $\frac{32}{27}$ です。