座標平面上に3点A(a, 3), B(-4, 1), C(0, 5)がある（ただし $a > 0$）。線分BC上の点Pからx軸に垂線を下ろし、x軸との交点をQとする。点Pが線分BC上を動くとき、三角形PQAの面積Sの最大値をaを用いて表す問題です。

1. 問題の内容

座標平面上に3点A(a, 3), B(-4, 1), C(0, 5)がある（ただし $a > 0$）。線分BC上の点Pからx軸に垂線を下ろし、x軸との交点をQとする。点Pが線分BC上を動くとき、三角形PQAの面積Sの最大値をaを用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

(1) 直線BCの方程式を求める。

2点B(-4, 1), C(0, 5)を通る直線の傾きは、

$(5-1)/(0-(-4)) = 4/4 = 1$

である。切片は5なので、直線BCの方程式は

$y = x + 5$

となる。

(2) 点Pの座標を定める。

点Pは直線BC上にあるので、点Pの座標を $(t, t+5)$ とする。ただし、$-4 \leq t \leq 0$である。

(3) 点Qの座標を定める。

点Qは点Pからx軸に下ろした垂線とx軸の交点なので、点Qの座標は $(t, 0)$ となる。

(4) 三角形PQAの面積Sを求める。

三角形PQAの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} |(a-t)(0-(t+5)) - (t-t)(3-0)| = \frac{1}{2} |(a-t)(-t-5)| = \frac{1}{2} |(t-a)(t+5)|$

となる。ここで、$a > 0$ であり、$-4 \leq t \leq 0$なので、$t-a < 0$である。よって、

$S = \frac{1}{2} |(t-a)(t+5)| = \frac{1}{2} |t^2 + (5-a)t -5a|$

また、$t+5 > 0$である。

$S(t) = \frac{1}{2} (-t^2 + (a-5)t + 5a) = \frac{1}{2} (-t^2 + (a-5)t + 5a)$

(5) Sの最大値を求める。

Sをtの関数と見て、最大値を求める。

$S'(t) = \frac{1}{2} (-2t + a-5)$

$S'(t) = 0$ となるのは、$t = \frac{a-5}{2}$のとき。

$S''(t) = -1 < 0$なので、$t = \frac{a-5}{2}$のとき、Sは最大値をとる。

ただし、$-4 \leq t \leq 0$なので、 $\frac{a-5}{2}$がこの範囲にあるかどうかを考慮する必要がある。

$-4 \leq \frac{a-5}{2} \leq 0$ より、$-8 \leq a-5 \leq 0$ , $-3 \leq a \leq 5$

(a) $-3 \leq a \leq 5$のとき

$t = \frac{a-5}{2}$のとき、$S = \frac{1}{2} (-\frac{(a-5)^2}{4} + \frac{(a-5)^2}{2} + 5a) = \frac{1}{2} (\frac{(a-5)^2}{4} + 5a) = \frac{1}{8} (a^2 - 10a + 25 + 20a) = \frac{1}{8} (a^2 + 10a + 25) = \frac{1}{8}(a+5)^2$

(b) $a < -3$のとき

$t = -4$のとき、$S = \frac{1}{2} (-( -4)^2 + (a-5)(-4) + 5a) = \frac{1}{2} (-16 -4a + 20 + 5a) = \frac{1}{2} (a + 4)$

$t = 0$のとき、$S = \frac{1}{2} (5a)$

(c) $a > 5$のとき

$t = 0$のとき、$S = \frac{5}{2} a$

最終的に、$a > 0$なので場合分けは (a) と (c) になる。

(a) $0 < a \leq 5$のとき、最大値は$S = \frac{1}{8}(a+5)^2$

(c) $a > 5$のとき、最大値は$S = \frac{5}{2}a$

3. 最終的な答え

$0 < a \le 5$ のとき $\frac{(a+5)^2}{8}$

$a > 5$ のとき $\frac{5a}{2}$