直角二等辺三角形ABCの辺上に頂点を持つ長方形PQCRがある。BCの長さが7cm、QCの長さがx cmであるとき、長方形PQCRの面積が6 $cm^2$以上12 $cm^2$以下となるxの範囲を求める。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCの辺上に頂点を持つ長方形PQCRがある。BCの長さが7cm、QCの長さがx cmであるとき、長方形PQCRの面積が6 $cm^2$以上12 $cm^2$以下となるxの範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、長方形PQCRの面積をxの関数として表す。

三角形ABCは直角二等辺三角形なので、AC = BC = 7cmとなる。

したがって、BR = BC - RC = 7 - xとなる。

また、三角形PBRも直角二等辺三角形なので、PR = BR = 7 - xとなる。

したがって、長方形PQCRの面積は、

面積 = PQ × QC = PR × QC = (7 - x)x = 7x - $x^2$となる。

長方形PQCRの面積が6 $cm^2$以上12 $cm^2$以下なので、以下の不等式が成り立つ。

$6 \le 7x - x^2 \le 12$

これを2つの不等式に分けて解く。

(1) $7x - x^2 \ge 6$

$x^2 - 7x + 6 \le 0$

$(x - 1)(x - 6) \le 0$

$1 \le x \le 6$

(2) $7x - x^2 \le 12$

$x^2 - 7x + 12 \ge 0$

$(x - 3)(x - 4) \ge 0$

$x \le 3$ または $x \ge 4$

(1)と(2)の両方を満たすxの範囲は、

$1 \le x \le 3$ または $4 \le x \le 6$

3. 最終的な答え

$1 \le x \le 3$ または $4 \le x \le 6$