## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた3つの立体について、体積と表面積を求めます。

(1) 半径 6cm の半球

(2) 半径 4cm の球の $\frac{1}{4}$

(3) 半径 5cm、高さ 8cm の円柱の上に半径 5cm の半球が乗った立体

## 解き方の手順

**(1) 半径 6cm の半球**

* **体積**

球の体積は $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ です。半球なので、この半分になります。

$V = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$

半径 $r = 6$ cmを代入します。

$V = \frac{2}{3} \pi (6)^3 = \frac{2}{3} \pi (216) = 144 \pi \text{ cm}^3$

* **表面積**

球の表面積は $S = 4\pi r^2$ です。半球なので、半球の丸い部分は $2\pi r^2$ になります。それに加えて、底面の円の面積 $\pi r^2$ を足します。

$S = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$

半径 $r = 6$ cmを代入します。

$S = 3\pi (6)^2 = 3\pi (36) = 108\pi \text{ cm}^2$

**(2) 半径 4cm の球の $\frac{1}{4}$**

* **体積**

球の体積は $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ です。その $\frac{1}{4}$ なので、

$V = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^3$

半径 $r = 4$ cmを代入します。

$V = \frac{1}{3} \pi (4)^3 = \frac{1}{3} \pi (64) = \frac{64}{3} \pi \text{ cm}^3$

* **表面積**

球の表面積は $S = 4\pi r^2$ です。その $\frac{1}{4}$ なので、丸い部分は $\pi r^2$ になります。それに加えて、切り口の扇形の面積 $\frac{1}{2} \pi r^2 \times 2 = \pi r^2$を足します。

$S = \pi r^2 + \pi r^2 = 3 \pi r^2$

半径 $r = 4$ cmを代入します。

$S = \pi (4)^2 + \frac{1}{2} \times 4 \pi (4)^2 = \pi (4)^2 + 2\pi(4)^2 = 3\pi (16) = 48\pi \text{ cm}^2$

**(3) 半径 5cm、高さ 8cm の円柱の上に半径 5cm の半球が乗った立体**

* **体積**

円柱の体積は $V_{\text{cylinder}} = \pi r^2 h$ です。半球の体積は (1) で求めたように $V_{\text{hemisphere}} = \frac{2}{3}\pi r^3$ です。全体の体積はこれらの和になります。

$V = V_{\text{cylinder}} + V_{\text{hemisphere}} = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$

半径 $r = 5$ cm、高さ $h = 8$ cmを代入します。

$V = \pi (5)^2 (8) + \frac{2}{3} \pi (5)^3 = 200 \pi + \frac{250}{3} \pi = \frac{600 + 250}{3} \pi = \frac{850}{3} \pi \text{ cm}^3$

* **表面積**

円柱の側面は $2\pi r h$、底面は $\pi r^2$、半球の丸い部分は $2\pi r^2$ になります。底面は立体の表面ではないため除外します。

$S = 2\pi r h + 2\pi r^2$

半径 $r = 5$ cm、高さ $h = 8$ cmを代入します。

$S = 2\pi (5)(8) + 2\pi (5)^2 = 80\pi + 50\pi = 130\pi \text{ cm}^2$

## 最終的な答え

**(1) 半径 6cm の半球**

* 体積: $144 \pi \text{ cm}^3$

* 表面積: $108\pi \text{ cm}^2$

**(2) 半径 4cm の球の $\frac{1}{4}$**

* 体積: $\frac{64}{3} \pi \text{ cm}^3$

* 表面積: $48\pi \text{ cm}^2$

**(3) 半径 5cm、高さ 8cm の円柱の上に半径 5cm の半球が乗った立体**

* 体積: $\frac{850}{3} \pi \text{ cm}^3$

* 表面積: $130\pi \text{ cm}^2$