点$(5,0)$を通る傾き$a$の直線が、円 $x^2 + y^2 = 9$ と異なる2点P, Qで交わるとき、 (1) $a$ の値の範囲を求める。 (2) PとQの中点をMとするとき、$a$を動かすとき点Mの軌跡を求める。

1. 問題の内容

点$(5,0)$を通る傾き$a$の直線が、円 $x^2 + y^2 = 9$ と異なる2点P, Qで交わるとき、

(1) $a$ の値の範囲を求める。

(2) PとQの中点をMとするとき、$a$を動かすとき点Mの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点$(5,0)$を通る傾き$a$の直線の方程式は $y = a(x-5)$ と表せる。

この直線と円 $x^2 + y^2 = 9$ が異なる2点で交わる条件は、円の中心$(0,0)$と直線 $y = a(x-5)$ の距離が円の半径$3$より小さいことである。

直線の式を変形すると、 $ax - y - 5a = 0$ となる。

円の中心$(0,0)$と直線 $ax - y - 5a = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|a(0) - (0) - 5a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|-5a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{5|a|}{\sqrt{a^2 + 1}}$

これが $3$ より小さいので、

$\frac{5|a|}{\sqrt{a^2 + 1}} < 3$

両辺を2乗すると、

$\frac{25a^2}{a^2 + 1} < 9$

$25a^2 < 9(a^2 + 1)$

$25a^2 < 9a^2 + 9$

$16a^2 < 9$

$a^2 < \frac{9}{16}$

$-\frac{3}{4} < a < \frac{3}{4}$

(2) 点P, Qの中点をM$(x, y)$とする。

点P, Qは直線 $y = a(x-5)$ と円 $x^2 + y^2 = 9$ の交点であるから、P, Qの座標は

$x^2 + (a(x-5))^2 = 9$

$x^2 + a^2(x^2 - 10x + 25) = 9$

$(1+a^2)x^2 - 10a^2x + 25a^2 - 9 = 0$

この方程式の2つの解が点P, Qの$x$座標である。中点Mの$x$座標は、解と係数の関係より、

$x = \frac{10a^2}{2(1+a^2)} = \frac{5a^2}{1+a^2}$

$a^2 = \frac{x}{5-x}$

また、$y = a(x-5)$ より、

$a = \frac{y}{x-5}$

$a^2 = \frac{y^2}{(x-5)^2}$

よって、$\frac{x}{5-x} = \frac{y^2}{(x-5)^2}$

$\frac{x}{5-x} = \frac{y^2}{(5-x)^2}$

$x(5-x) = y^2$

$5x - x^2 = y^2$

$x^2 - 5x + y^2 = 0$

$(x - \frac{5}{2})^2 + y^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$

これは中心$(\frac{5}{2}, 0)$、半径$\frac{5}{2}$の円を表す。

(1)より、$a$の値の範囲は $-\frac{3}{4} < a < \frac{3}{4}$

$a = \frac{y}{x-5}$に代入すると、$-\frac{3}{4} < \frac{y}{x-5} < \frac{3}{4}$

$-\frac{3}{4}(x-5) < y < \frac{3}{4}(x-5)$

円 $x^2 - 5x + y^2 = 0$ 上の点のうち、$y = \pm\frac{3}{4}(x-5)$ を満たす点は、

$x^2 - 5x + \frac{9}{16}(x-5)^2 = 0$

$16x^2 - 80x + 9(x^2 - 10x + 25) = 0$

$25x^2 - 170x + 225 = 0$

$5x^2 - 34x + 45 = 0$

$(5x - 9)(x-5) = 0$

$x = \frac{9}{5}, 5$

$x = 5$ のときは定義できない。

$x = \frac{9}{5}$ のとき、$y^2 = 5(\frac{9}{5}) - (\frac{9}{5})^2 = 9 - \frac{81}{25} = \frac{225 - 81}{25} = \frac{144}{25}$

$y = \pm\frac{12}{5}$

よって、点$(\frac{9}{5}, \frac{12}{5})$ と $(\frac{9}{5}, -\frac{12}{5})$ を除く。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{4} < a < \frac{3}{4}$

(2) $(x - \frac{5}{2})^2 + y^2 = \frac{25}{4}$ ただし、点 $(\frac{9}{5}, \frac{12}{5})$ と $(\frac{9}{5}, -\frac{12}{5})$ を除く。