展開図が与えられた円錐の表面積を求める問題です。展開図は、中心角が$60^\circ$、半径が$12$cmの扇形と、円で構成されています。

1. 問題の内容

展開図が与えられた円錐の表面積を求める問題です。展開図は、中心角が$60^\circ$、半径が$12$cmの扇形と、円で構成されています。

2. 解き方の手順

(1) 扇形の面積を計算します。扇形の面積は、円の面積に中心角の割合をかけたものです。半径$r$、中心角$\theta$（度）の扇形の面積は $\pi r^2 \times \frac{\theta}{360}$ で求められます。

(2) 円の半径を計算します。扇形の弧の長さは、円の円周と等しくなります。扇形の弧の長さは $2\pi r \times \frac{\theta}{360}$ で計算できます。ここで、$r$は扇形の半径、$\theta$は中心角です。円の半径を$r'$とすると、$2\pi \times 12 \times \frac{60}{360} = 2\pi r'$が成り立ちます。この式から$r'$を求めます。

(3) 円の面積を計算します。円の面積は $\pi r'^2$ で計算できます。

(4) 扇形の面積と円の面積を足し合わせることで、円錐の表面積を求めます。

具体的な計算は以下の通りです。

(1) 扇形の面積：

$\pi \times 12^2 \times \frac{60}{360} = \pi \times 144 \times \frac{1}{6} = 24\pi$

(2) 円の半径：

$2\pi \times 12 \times \frac{60}{360} = 2\pi r'$

$2\pi \times 12 \times \frac{1}{6} = 2\pi r'$

$4\pi = 2\pi r'$

$r' = 2$

(3) 円の面積：

$\pi \times 2^2 = 4\pi$

(4) 円錐の表面積：

$24\pi + 4\pi = 28\pi$

3. 最終的な答え

$28\pi$ cm$^2$