平行四辺形ABCDにおいて、対角線AC上に、BP⊥AC、DQ⊥ACとなる点P,Qをとるとき、四角形PBQDが平行四辺形であることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線AC上に、BP⊥AC、DQ⊥ACとなる点P,Qをとるとき、四角形PBQDが平行四辺形であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、△BPCと△DQAが合同であることを示す。

(i) 平行四辺形の対辺は等しいので、$BC = DA$。

(ii) 仮定より、$BP \perp AC, DQ \perp AC$であるから、$\angle BPC = \angle DQA = 90^\circ$。

(iii) 平行線の錯角は等しいので、$\angle BCP = \angle DAQ$。

(i), (ii), (iii)より、直角三角形において斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、$\triangle BPC \equiv \triangle DQA$。

合同な図形の対応する辺は等しいので、$BP = DQ$。

また、仮定より$BP \perp AC, DQ \perp AC$だから、$BP \parallel DQ$。

したがって、1組の対辺が平行でその長さが等しいので、四角形PBQDは平行四辺形である。

3. 最終的な答え

四角形PBQDは平行四辺形である。