問題20は、2つの2次関数 $y = x^2 - 2x - 3$ と $y = -x^2 + 3x - 1$ について、それぞれのグラフとx軸の共有点の座標を求める問題です。また、どちらのグラフがx軸に接するかを判定する必要があります。

1. 問題の内容

問題20は、2つの2次関数 $y = x^2 - 2x - 3$ と $y = -x^2 + 3x - 1$ について、それぞれのグラフとx軸の共有点の座標を求める問題です。また、どちらのグラフがx軸に接するかを判定する必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 2x - 3$ の場合:

* $y = 0$ とおいて、$x^2 - 2x - 3 = 0$ を解きます。

* 因数分解すると、$(x - 3)(x + 1) = 0$ となります。

* よって、$x = 3, -1$ となります。

* したがって、共有点の座標は $(3, 0)$ と $(-1, 0)$ です。

(2) $y = -x^2 + 3x - 1$ の場合:

* $y = 0$ とおいて、$-x^2 + 3x - 1 = 0$ を解きます。

* 両辺に-1をかけて、$x^2 - 3x + 1 = 0$ とします。

* 解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用います。

* $x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ となります。

* したがって、共有点の座標は $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0)$ と $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0)$ です。

グラフがx軸に接するかどうかの判定:

* グラフがx軸に接するのは、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が0になる時です。

* $y = x^2 - 2x - 3$ の判別式は $D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 > 0$ なので、x軸に接しません。

* $y = -x^2 + 3x - 1$ の判別式は $D = (3)^2 - 4(-1)(-1) = 9 - 4 = 5 > 0$ なので、x軸に接しません。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 2x - 3$: 共有点の座標は $(3, 0)$ と $(-1, 0)$。

(2) $y = -x^2 + 3x - 1$: 共有点の座標は $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0)$ と $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0)$。

どちらのグラフもx軸に接しません。