関数 $f(x) = -x^3 + 12x$ の極大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 12x$ の極大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 関数 $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

$$f'(x) = -3x^2 + 12$$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$$-3x^2 + 12 = 0$$

$$3x^2 = 12$$

$$x^2 = 4$$

$$x = \pm 2$$

3. $x = 2$ と $x = -2$ の前後で $f'(x)$ の符号がどう変化するかを調べます。

- $x < -2$ のとき、例えば $x = -3$ とすると、$f'(-3) = -3(-3)^2 + 12 = -27 + 12 = -15 < 0$

- $-2 < x < 2$ のとき、例えば $x = 0$ とすると、$f'(0) = -3(0)^2 + 12 = 12 > 0$

- $x > 2$ のとき、例えば $x = 3$ とすると、$f'(3) = -3(3)^2 + 12 = -27 + 12 = -15 < 0$

したがって、$x = -2$ で極小値、$x = 2$ で極大値をとります。

4. $f(2)$ を計算して、極大値を求めます。

$$f(2) = -(2)^3 + 12(2) = -8 + 24 = 16$$

3. 最終的な答え

極大値は $16$ です。