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関数 $f(x) = -x^3 + 12x$ の極大値を求める問題です。

解析学微分極値関数の増減極大値
2025/4/5

1. 問題の内容

関数 f(x)=−x3+12xf(x) = -x^3 + 12x の極大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 関数 $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

f′(x)=−3x2+12f'(x) = -3x^2 + 12

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

−3x2+12=0-3x^2 + 12 = 0
3x2=123x^2 = 12
x2=4x^2 = 4
x=±2x = \pm 2

3. $x = 2$ と $x = -2$ の前後で $f'(x)$ の符号がどう変化するかを調べます。

- x<−2x < -2 のとき、例えば x=−3x = -3 とすると、f′(−3)=−3(−3)2+12=−27+12=−15<0f'(-3) = -3(-3)^2 + 12 = -27 + 12 = -15 < 0
- −2<x<2-2 < x < 2 のとき、例えば x=0x = 0 とすると、f′(0)=−3(0)2+12=12>0f'(0) = -3(0)^2 + 12 = 12 > 0
- x>2x > 2 のとき、例えば x=3x = 3 とすると、f′(3)=−3(3)2+12=−27+12=−15<0f'(3) = -3(3)^2 + 12 = -27 + 12 = -15 < 0
したがって、x=−2x = -2 で極小値、x=2x = 2 で極大値をとります。

4. $f(2)$ を計算して、極大値を求めます。

f(2)=−(2)3+12(2)=−8+24=16f(2) = -(2)^3 + 12(2) = -8 + 24 = 16

3. 最終的な答え

極大値は 1616 です。

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