(1) 関数 $y = x^2 - 2x + c$ の $-2 \le x \le 0$ における最大値が 5 であるとき、定数 $c$ の値を求める。 (2) 関数 $y = -x^2 + 6x + c$ の $1 \le x \le 4$ における最小値が -7 であるとき、定数 $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^2 - 2x + c$ の $-2 \le x \le 0$ における最大値が 5 であるとき、定数 $c$ の値を求める。

(2) 関数 $y = -x^2 + 6x + c$ の $1 \le x \le 4$ における最小値が -7 であるとき、定数 $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = x^2 - 2x + c$ について

まず、平方完成を行う。

$y = x^2 - 2x + c = (x - 1)^2 - 1 + c$

軸は $x = 1$ であり、定義域 $-2 \le x \le 0$ において、$x = -2$ のときに最大値をとる。

$x = -2$ を代入すると、$y = (-2)^2 - 2(-2) + c = 4 + 4 + c = 8 + c$

最大値が 5 であるから、$8 + c = 5$

よって、$c = 5 - 8 = -3$

(2) 関数 $y = -x^2 + 6x + c$ について

まず、平方完成を行う。

$y = -x^2 + 6x + c = -(x^2 - 6x) + c = -(x - 3)^2 + 9 + c$

軸は $x = 3$ であり、定義域 $1 \le x \le 4$ に含まれている。

$x = 3$ のとき、最大値 $9 + c$ をとる。

また、$x=1$のとき $y= -1 +6 +c = 5+c$

$x=4$のとき $y= -16 + 24 +c = 8+c$

定義域の両端 $x=1$と$x=4$を比較すると、$x=1$のとき最小値を取る。

$x=1$を代入すると、$y = -(1)^2 + 6(1) + c = -1 + 6 + c = 5 + c$

最小値が -7 であるから、$5 + c = -7$

よって、$c = -7 - 5 = -12$

3. 最終的な答え

(1) $c = -3$

(2) $c = -12$