以下の4つの関数について、与えられた条件を満たすものを答える問題です。 ア: $y = -3x + 5$ イ: $y = -2x^2$ ウ: $y = \frac{1}{2}x^2$ エ: $y = 2x - 4$ (1) $x > 0$ の範囲で、$x$ の値が増加すると $y$ の値が減少する関数はどれか。 (2) 変化の割合がつねに正である関数はどれか。 (3) $x$ の値が $-4$ から $-2$ まで増加するときの変化の割合が等しい関数はどれとどれか。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の4つの関数について、与えられた条件を満たすものを答える問題です。

ア: $y = -3x + 5$

イ: $y = -2x^2$

ウ: $y = \frac{1}{2}x^2$

エ: $y = 2x - 4$

(1) $x > 0$ の範囲で、$x$ の値が増加すると $y$ の値が減少する関数はどれか。

(2) 変化の割合がつねに正である関数はどれか。

(3) $x$ の値が $-4$ から $-2$ まで増加するときの変化の割合が等しい関数はどれとどれか。

2. 解き方の手順

(1) $x > 0$ の範囲で、$x$ の値が増加すると $y$ の値が減少する関数

ア: $y = -3x + 5$ は、傾きが負の直線なので、$x$ が増加すると $y$ は減少します。$x > 0$ の範囲でも同様です。

イ: $y = -2x^2$ は、下に凸の放物線です。$x > 0$ の範囲では、$x$ が増加すると $y$ は減少します。

ウ: $y = \frac{1}{2}x^2$ は、上に凸の放物線です。$x > 0$ の範囲では、$x$ が増加すると $y$ も増加します。

エ: $y = 2x - 4$ は、傾きが正の直線なので、$x$ が増加すると $y$ も増加します。

したがって、アとイが該当します。

(2) 変化の割合がつねに正である関数

変化の割合がつねに正である関数は、一次関数であれば傾きが正の関数です。

ア: $y = -3x + 5$ の傾きは $-3$ で負です。

イ: $y = -2x^2$ は二次関数なので、変化の割合は一定ではありません。

ウ: $y = \frac{1}{2}x^2$ は二次関数なので、変化の割合は一定ではありません。

エ: $y = 2x - 4$ の傾きは $2$ で正です。

したがって、エが該当します。

(3) $x$ の値が $-4$ から $-2$ まで増加するときの変化の割合が等しい関数

ア: $y = -3x + 5$ の変化の割合は $-3$ です。

イ: $y = -2x^2$ の変化の割合は、$\frac{-2(-2)^2 - (-2(-4)^2)}{-2 - (-4)} = \frac{-8 - (-32)}{2} = \frac{24}{2} = 12$ です。

ウ: $y = \frac{1}{2}x^2$ の変化の割合は、$\frac{\frac{1}{2}(-2)^2 - \frac{1}{2}(-4)^2}{-2 - (-4)} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ です。

エ: $y = 2x - 4$ の変化の割合は $2$ です。

アとウの変化の割合が等しいので、アとウが該当します。

3. 最終的な答え

(1) ア, イ

(2) エ

(3) ア, ウ