関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$ の増減表の空欄を埋める問題です。増減表において、$x$ の値が与えられたとき、$f'(x)$ の符号、および $f(x)$ の値を求めます。特に、与えられた表において、$x$ の値に対応する $f'(x)$ の符号、そして $f(x)$ の値を決定します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$ の増減表の空欄を埋める問題です。増減表において、$x$ の値が与えられたとき、$f'(x)$ の符号、および $f(x)$ の値を求めます。特に、与えられた表において、$x$ の値に対応する $f'(x)$ の符号、そして $f(x)$ の値を決定します。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2$

次に、与えられた増減表から、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$f'(x) = 3(x-1)^2 = 0$ より、$x = 1$ です。

これは増減表の $x$ の欄にすでに記載されています。

$x=1$ のとき、$f'(x) = 0$ であることがわかります。

次に、$f'(x)$ の符号を調べます。$f'(x) = 3(x-1)^2$ より、$f'(x)$ は常に0以上です。$x=1$ 以外では、$f'(x) > 0$ となります。

したがって、増減表の $f'(x)$ の行は、x=1以外の場所では常に正の値を取ることがわかります。つまり、x < 1と x > 1 では + の符号をとります。

次に、$f(x)$ の値を計算します。

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$

$x = 1$ のとき、$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 3(1) - 2 = 1 - 3 + 3 - 2 = -1$

したがって、増減表において、$x=1$ に対応する $f(x)$ の値は $-1$ となります。

増減表の空欄は、$f'(x)$ の符号と $f(x)$ の値であることから、選択肢の中から最も適切なものを選びます。

①: 1, ②: - , ③: + とすると、以下のようになります。

選択肢1: ① - 1 ② - ③ + -> 不適切

選択肢2: ① - 1 ② + ③ - -> 不適切

選択肢3: ① + ② + ③ - -> 不適切

選択肢4: ① + ② - ③ + -> 不適切

選択肢5: ① + 1 ② + ③ + -> 不適切

以上の考察から、x < 1, x=1, x > 1 において、f'(x) は +, 0, + となるので、増減表において与えられたxに対してf'(x)が定義されている必要があります。f(1) = -1を考慮すると、該当する選択肢は見当たりません。

しかし、問題文をよく読むと、空欄を埋めるだけなので、選択肢から選ぶ必要があります。

$f'(x) = 3(x-1)^2 \ge 0$ なので、$f'(x)$ は $x=1$ のときのみ $0$ であり、それ以外は正です。$f(1) = -1$ であり、選択肢の中で、$f'(x)$ が $0, +$ の組み合わせで、$f(1)$ が $-1$ であることを考慮すると、選択肢 1 が最も近いと考えられます。選択肢1は、$x$が与えられていないので、矛盾する部分がありますが、無理やり解釈すると、$x$は省略されていると考えます。

3. 最終的な答え

選択肢1