直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺ABとBCの長さの和が10cmであるとき、この三角形の面積の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺ABとBCの長さの和が10cmであるとき、この三角形の面積の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ABの長さを$x$とすると、BCの長さは$10-x$となります。ただし、$x>0$ かつ $10-x > 0$ より、$0 < x < 10$です。

三角形ABCの面積を$S$とすると、

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times x \times (10-x) = \frac{1}{2}(10x - x^2)$

$S = \frac{1}{2}(-x^2 + 10x)$

面積$S$が最大となる$x$を求めるため、平方完成を行います。

$S = \frac{1}{2}(-(x^2 - 10x))$

$S = \frac{1}{2}(-(x^2 - 10x + 25 - 25))$

$S = \frac{1}{2}(-(x - 5)^2 + 25)$

$S = -\frac{1}{2}(x - 5)^2 + \frac{25}{2}$

$0 < x < 10$の範囲で、$x = 5$のとき、面積$S$は最大値$\frac{25}{2}$をとります。

3. 最終的な答え

三角形の面積の最大値は$\frac{25}{2}$ cm$^2$です。