$x$ の連立不等式 $5x - 2 > 12 + 3x$ $x - a \ge 3x + 1$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個だけ存在するときの、定数 $a$ のとりうる値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$x$ の連立不等式

$5x - 2 > 12 + 3x$

$x - a \ge 3x + 1$

を満たす整数 $x$ がちょうど3個だけ存在するときの、定数 $a$ のとりうる値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

一つ目の不等式:

$5x - 2 > 12 + 3x$

$5x - 3x > 12 + 2$

$2x > 14$

$x > 7$

二つ目の不等式:

$x - a \ge 3x + 1$

$-2x \ge a + 1$

$2x \le -a - 1$

$x \le \frac{-a - 1}{2}$

したがって、連立不等式は

$7 < x \le \frac{-a - 1}{2}$

となります。

この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど3個であるのは、$x = 8, 9, 10$ のときです。

つまり、$7 < 8, 9, 10 \le \frac{-a-1}{2}$ であり、 $10 < \frac{-a-1}{2} \le 11$ である必要があります。

$10 < \frac{-a-1}{2} \le 11$

$20 < -a - 1 \le 22$

$21 < -a \le 23$

$-23 \le a < -21$

3. 最終的な答え

$-23 \le a < -21$