与えられた複素数の計算を行い、$a + bi$ の形で表す。問題は以下の4つです。 (1) $\frac{1}{2+i}$ (2) $\frac{1+i}{1+2i}$ (3) $\frac{1-2i}{2-3i}$ (4) $\frac{2}{1-i}$

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算を行い、$a + bi$ の形で表す。問題は以下の4つです。

(1) $\frac{1}{2+i}$

(2) $\frac{1+i}{1+2i}$

(3) $\frac{1-2i}{2-3i}$

(4) $\frac{2}{1-i}$

2. 解き方の手順

複素数の分数の計算では、分母の共役複素数を分子と分母にかけることで、分母を実数にします。

(1) $\frac{1}{2+i}$

分母の共役複素数は $2-i$ なので、分子と分母にかけます。

$\frac{1}{2+i} = \frac{1}{2+i} \times \frac{2-i}{2-i} = \frac{2-i}{(2+i)(2-i)} = \frac{2-i}{4 - i^2} = \frac{2-i}{4 - (-1)} = \frac{2-i}{5} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$

(2) $\frac{1+i}{1+2i}$

分母の共役複素数は $1-2i$ なので、分子と分母にかけます。

$\frac{1+i}{1+2i} = \frac{1+i}{1+2i} \times \frac{1-2i}{1-2i} = \frac{(1+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{1 - 2i + i - 2i^2}{1 - 4i^2} = \frac{1 - i + 2}{1 + 4} = \frac{3 - i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}i$

(3) $\frac{1-2i}{2-3i}$

分母の共役複素数は $2+3i$ なので、分子と分母にかけます。

$\frac{1-2i}{2-3i} = \frac{1-2i}{2-3i} \times \frac{2+3i}{2+3i} = \frac{(1-2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{2 + 3i - 4i - 6i^2}{4 - 9i^2} = \frac{2 - i + 6}{4 + 9} = \frac{8 - i}{13} = \frac{8}{13} - \frac{1}{13}i$

(4) $\frac{2}{1-i}$

分母の共役複素数は $1+i$ なので、分子と分母にかけます。

$\frac{2}{1-i} = \frac{2}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2 + 2i}{1 - i^2} = \frac{2 + 2i}{1 + 1} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$

(2) $\frac{3}{5} - \frac{1}{5}i$

(3) $\frac{8}{13} - \frac{1}{13}i$

(4) $1 + i$