与えられた2次関数 $f(x) = -2x^2 - 2kx - \frac{k^2}{2} + k$ について、以下の問いに答えます。 (1) $k=2$ のとき、$f(x) \ge 0$ となる $x$ の範囲を求めます。 (2) $f(x)$ のグラフの頂点が放物線 $y = x^2 + 1$ 上にあるとき、$k$ の値を求め、そのときの $f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。 (3) $x$ の方程式 $f(x) = 0$ が $x < -1$ を満たす異なる2つの解をもつような $k$ の範囲を求めます。 (4) $0 \le k \le 4$ とするとき、$-2 \le x \le 0$ における $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とすると、$M = -m$ となるような $k$ の値を、小さい方から順に求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = -2x^2 - 2kx - \frac{k^2}{2} + k$ について、以下の問いに答えます。

(1) $k=2$ のとき、$f(x) \ge 0$ となる $x$ の範囲を求めます。

(2) $f(x)$ のグラフの頂点が放物線 $y = x^2 + 1$ 上にあるとき、$k$ の値を求め、そのときの $f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。

(3) $x$ の方程式 $f(x) = 0$ が $x < -1$ を満たす異なる2つの解をもつような $k$ の範囲を求めます。

(4) $0 \le k \le 4$ とするとき、$-2 \le x \le 0$ における $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とすると、$M = -m$ となるような $k$ の値を、小さい方から順に求めます。

2. 解き方の手順

(1) $k=2$ のとき、$f(x) = -2x^2 - 4x - 2 + 2 = -2x^2 - 4x = -2x(x+2)$ となります。$f(x) \ge 0$ となるのは、$-2x(x+2) \ge 0$、つまり $x(x+2) \le 0$ のときなので、$-2 \le x \le 0$ となります。

(2) $f(x) = -2(x^2 + kx) - \frac{k^2}{2} + k = -2(x + \frac{k}{2})^2 + \frac{k^2}{2} - \frac{k^2}{2} + k = -2(x + \frac{k}{2})^2 + k$ と変形できます。したがって、$f(x)$ の頂点の座標は $(-\frac{k}{2}, k)$ です。この頂点が $y = x^2 + 1$ 上にあるので、$k = (-\frac{k}{2})^2 + 1$ となり、$k = \frac{k^2}{4} + 1$、つまり $k^2 - 4k + 4 = 0$ となります。これを解くと $(k-2)^2 = 0$ より、$k=2$ となります。

このとき、$f(x)$ のグラフの頂点の座標は $(-\frac{2}{2}, 2) = (-1, 2)$ です。

(3) $f(x) = -2x^2 - 2kx - \frac{k^2}{2} + k = 0$ となる $x$ を求めます。

$2x^2 + 2kx + \frac{k^2}{2} - k = 0$

$x = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4 \cdot 2 \cdot (\frac{k^2}{2} - k)}}{4} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4k^2 + 8k}}{4} = \frac{-2k \pm \sqrt{8k}}{4} = \frac{-k \pm \sqrt{2k}}{2}$

$f(x) = 0$ が $x < -1$ を満たす異なる2つの解をもつためには、$k > 0$ であり、かつ $\frac{-k - \sqrt{2k}}{2} < -1$ と $\frac{-k + \sqrt{2k}}{2} < -1$ が必要です。

$\frac{-k - \sqrt{2k}}{2} < -1 \Rightarrow -k - \sqrt{2k} < -2 \Rightarrow 2-k < \sqrt{2k} \Rightarrow (2-k)^2 < 2k \Rightarrow 4 - 4k + k^2 < 2k \Rightarrow k^2 - 6k + 4 < 0$

$\frac{-k + \sqrt{2k}}{2} < -1 \Rightarrow -k + \sqrt{2k} < -2 \Rightarrow \sqrt{2k} < k-2 \Rightarrow 2k < k^2 - 4k + 4 \Rightarrow k^2 - 6k + 4 > 0$

$k^2 - 6k + 4 = 0$ の解は $k = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$

したがって、$k < 3 - \sqrt{5}$ または $k > 3 + \sqrt{5}$ であり、かつ $3 - \sqrt{5} < k < 3 + \sqrt{5}$ である必要があるので、$2 < k < 3 - \sqrt{5}$ または $3+\sqrt{5} < k < 3+\sqrt{5}$ となります。さらに、$0 < k$ も必要なので、 $2 < k < 3 + \sqrt{5}$ となる条件から、$0 < k < 3-\sqrt{5}$ ということになります。計算間違いの可能性があるので、計算し直すと、$2 - \sqrt{2k} < k, 2 < k+\sqrt{2k}$。$\sqrt{2k} > 2-k, 2k > (2-k)^2 = 4-4k+k^2, k^2-6k+4<0, k = 3\pm\sqrt{5}$. $k$の値は、$3-\sqrt{5} = 0.76$, $3+\sqrt{5} = 5.23$, $0<k<3-\sqrt{5}$ のとき、$x<-1$.

(4) $f(x) = -2(x + \frac{k}{2})^2 + k$ であり、軸は $x = -\frac{k}{2}$ です。 $-2 \le x \le 0$ で考えます。$0 \le k \le 4$ より、$-2 \le -\frac{k}{2} \le 0$ となります。軸が範囲内にあるので、$M = f(-\frac{k}{2}) = k$ となります。

$f(-2) = -2(4) + 4k - \frac{k^2}{2} + k = -8 + 5k - \frac{k^2}{2}$

$f(0) = -\frac{k^2}{2} + k$

$f'(-2) = 5-k$

$f'(0)= 1-k$.

$M = -m$ の場合を考えます。

(i) $-\frac{k}{2} \ge -2$, $-\frac{k}{2} \le 0$ のとき、つまり、$0\le k \le 4$ のとき、

最大値$M = k$, 最小値は$f(0)$か$f(-2)$。

1. $k \le 2$. $k < 6 - 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

7: イ

8: イ

9: エ

10: ア

11: ア

12: イ