関数 $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 2$ の極大値を求める問題です。極大値を取る $x$ の値も求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 2$ の極大値を求める問題です。極大値を取る $x$ の値も求めます。

2. 解き方の手順

* ステップ1：導関数を求める

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9$

* ステップ2：極値を求める

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これが極値の候補です。

$-3x^2 + 12x - 9 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

したがって、$x = 1$ と $x = 3$ が極値の候補となります。

* ステップ3：増減表を作成する

$x = 1$ と $x = 3$ の前後で $f'(x)$ の符号がどのように変化するかを調べます。これにより、それぞれの $x$ の値が極大値を与えるか、極小値を与えるかを判断できます。

$x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$

$1 < x < 3$ のとき、$f'(x) > 0$

$x > 3$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、$x = 1$ で極小値、$x = 3$ で極大値を取ります。

* ステップ4：極大値を計算する

$x = 3$ のときの $f(x)$ の値を計算します。

$f(3) = -(3)^3 + 6(3)^2 - 9(3) + 2$

$f(3) = -27 + 54 - 27 + 2$

$f(3) = 2$

3. 最終的な答え

極大値は $2$ です。極大値をとる $x$ の値は $3$ です。