与えられた関数 $f(x) = -3x^4 + 4x^3 + 12x^2 - 2$ について、増減表の空欄を埋める問題です。増減表には、$x$ の値と対応する $f(x)$ の値、$f'(x)$ の符号に関する情報が一部与えられています。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = -3x^4 + 4x^3 + 12x^2 - 2$ について、増減表の空欄を埋める問題です。増減表には、$x$ の値と対応する $f(x)$ の値、$f'(x)$ の符号に関する情報が一部与えられています。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = -3x^4 + 4x^3 + 12x^2 - 2$

$f'(x) = -12x^3 + 12x^2 + 24x$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$f'(x) = -12x(x^2 - x - 2) = -12x(x - 2)(x + 1)$

したがって、$f'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 0, 2$ のときです。

増減表の$f'(x)$の行を埋めます。$x<-1$の時、$f'(x)$は正、$-1<x<0$の時、$f'(x)$は負、$0<x<2$の時、$f'(x)$は正、$x>2$の時、$f'(x)$は負になります。

増減表の$f(x)$の行を埋めます。$f(x)$は、$x<-1$で増加、$-1<x<0$で減少、$0<x<2$で増加、$x>2$で減少します。

$x=-1$のとき、$f(-1) = -3(-1)^4 + 4(-1)^3 + 12(-1)^2 - 2 = -3 - 4 + 12 - 2 = 3$

$x=3$のとき、$f(3) = -3(3)^4 + 4(3)^3 + 12(3)^2 - 2 = -3(81) + 4(27) + 12(9) - 2 = -243 + 108 + 108 - 2 = -29$

増減表に値を書き込むと：

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 2 | ... | 3 | ... |

| :----- | :--- | :--- | :--- | :-- | :--- | :-- | :--- | :-- | :-- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - | | |

| f(x) | ↑ | 3 | ↓ | -2 | ↑ | 14 | ↓ | -29 | |

したがって、空欄に当てはまる数字は以下の通りです。

* -1 のときの $f(x)$ の値は 3。

* 3 のときの $f(x)$ の値は -29。

3. 最終的な答え

-1 のときの $f(x)$ の値: 3

3 のときの $f(x)$ の値: -29