関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7$ の、区間 $-1 \leq x \leq 4$ における最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7$ の、区間 $-1 \leq x \leq 4$ における最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 15$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。これは極値を取る点の候補となります。

$3x^2 - 18x + 15 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

$(x - 1)(x - 5) = 0$

したがって、$x = 1$ または $x = 5$ となります。

ただし、区間 $-1 \leq x \leq 4$ に含まれるのは $x = 1$ のみです。$x=5$は区間外なので考えません。

次に、区間の端点 $x = -1$ および $x = 4$ と、極値の候補 $x = 1$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 15(-1) - 7 = -1 - 9 - 15 - 7 = -32$

$f(1) = 1^3 - 9(1)^2 + 15(1) - 7 = 1 - 9 + 15 - 7 = 0$

$f(4) = 4^3 - 9(4)^2 + 15(4) - 7 = 64 - 144 + 60 - 7 = -27$

これらの値の中で最も小さいものが最小値です。$f(-1) = -32$, $f(1) = 0$, $f(4) = -27$ なので、最小値は $-32$ です。

3. 最終的な答え

最小値: -32

そのときのxの値: -1