関数 $f(x) = x^3 - 6x + 1$ の区間 $-2 \le x \le 3$ における最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 6x + 1$ の区間 $-2 \le x \le 3$ における最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

* まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$$f'(x) = 3x^2 - 6$$

* 次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$$3x^2 - 6 = 0$$

$$3x^2 = 6$$

$$x^2 = 2$$

$$x = \pm \sqrt{2}$$

* $x = \pm \sqrt{2}$ のうち、区間 $-2 \le x \le 3$ に含まれるのは $x = \sqrt{2}$ と $x = -\sqrt{2}$ です。

* 区間の端点 $x = -2, x = 3$ と、極値を与える候補 $x = \sqrt{2}, x = -\sqrt{2}$ における $f(x)$ の値を計算します。

* $x = -2$ のとき、$f(-2) = (-2)^3 - 6(-2) + 1 = -8 + 12 + 1 = 5$

* $x = 3$ のとき、$f(3) = (3)^3 - 6(3) + 1 = 27 - 18 + 1 = 10$

* $x = \sqrt{2}$ のとき、$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6\sqrt{2} + 1 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 1 = -4\sqrt{2} + 1 \approx -4.657$

* $x = -\sqrt{2}$ のとき、$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 1 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 1 = 4\sqrt{2} + 1 \approx 6.657$

* 上記の値を比較し、最小値となる $f(x)$ の値とそのときの $x$ の値を特定します。

3. 最終的な答え

最小値は $-4\sqrt{2} + 1$ で、そのときの $x$ の値は $\sqrt{2}$ です。