関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + 3$ について、区間 $0 \le x \le 4$ における関数の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + 3$ について、区間 $0 \le x \le 4$ における関数の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、極値を求めます。

$f'(x) = x^2 - 3x + 2$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x-1)(x-2) = 0$

$x = 1, 2$

次に、$f''(x)$ を計算し、それぞれの極値が極大値か極小値かを判定します。

$f''(x) = 2x - 3$

$x=1$ のとき、 $f''(1) = 2(1) - 3 = -1 < 0$ なので、$x=1$ で極大値をとります。

$x=2$ のとき、 $f''(2) = 2(2) - 3 = 1 > 0$ なので、$x=2$ で極小値をとります。

次に、それぞれの極値を計算します。

$f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 2(1) + 3 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 + 3 = \frac{2 - 9 + 12 + 18}{6} = \frac{23}{6}$

$f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{3}{2}(2)^2 + 2(2) + 3 = \frac{8}{3} - 6 + 4 + 3 = \frac{8}{3} + 1 = \frac{11}{3}$

与えられた区間の端点 $x=0$ と $x=4$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 2(0) + 3 = 3$

$f(4) = \frac{1}{3}(4)^3 - \frac{3}{2}(4)^2 + 2(4) + 3 = \frac{64}{3} - 24 + 8 + 3 = \frac{64}{3} - 13 = \frac{64 - 39}{3} = \frac{25}{3}$

$f(x)$ のとりうる値の候補は、$f(0) = 3 = \frac{18}{6}$, $f(1) = \frac{23}{6}$, $f(2) = \frac{11}{3} = \frac{22}{6}$, $f(4) = \frac{25}{3} = \frac{50}{6}$

したがって、最小値は $f(0) = 3$, 最大値は $f(4) = \frac{25}{3}$

3. 最終的な答え

関数の値の範囲は $3 \le f(x) \le \frac{25}{3}$