関数 $f(x) = \sin x$ のマクローリン展開を剰余項が $x^5$ の項を含む形で求め、$\sin x = ア + \frac{イ}{5!} x^5$ の形で表す。 (1) 空欄アに入る $x$ の式と、空欄イに入る $\theta \in (0, 1)$ の式を求める。 (2) (1) の結果を用いて $\sin 1$ の値を $\frac{ウ}{エ} < \sin 1 < \frac{オ}{カ}$ の形で評価する。空欄ウ〜カに入る自然数を既約分数で求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin x$ のマクローリン展開を剰余項が $x^5$ の項を含む形で求め、$\sin x = ア + \frac{イ}{5!} x^5$ の形で表す。

(1) 空欄アに入る $x$ の式と、空欄イに入る $\theta \in (0, 1)$ の式を求める。

(2) (1) の結果を用いて $\sin 1$ の値を $\frac{ウ}{エ} < \sin 1 < \frac{オ}{カ}$ の形で評価する。空欄ウ〜カに入る自然数を既約分数で求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin x$ のマクローリン展開を5次の項まで求める。

$\sin x$ の導関数は以下のようになる。

$f(x) = \sin x$, $f(0) = 0$

$f'(x) = \cos x$, $f'(0) = 1$

$f''(x) = -\sin x$, $f''(0) = 0$

$f'''(x) = -\cos x$, $f'''(0) = -1$

$f^{(4)}(x) = \sin x$, $f^{(4)}(0) = 0$

$f^{(5)}(x) = \cos x$

マクローリン展開は $f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!}x^5$ で表される。

したがって、

$\sin x = 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{\cos(\theta x)}{5!}x^5$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{\cos(\theta x)}{5!}x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\cos(\theta x)}{120}x^5$

ここで、アは $x - \frac{x^3}{6}$、イは $\cos(\theta x)$ である。

(2) (1) の結果を用いて $\sin 1$ の値を評価する。

$\sin 1 = 1 - \frac{1^3}{6} + \frac{\cos(\theta)}{120}$

$1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.833$

$0 < \theta < 1$ より、$\cos 1 < \cos \theta < 1$。$\cos 1 \approx 0.540$

$\frac{0.540}{120} < \frac{\cos \theta}{120} < \frac{1}{120}$

$\frac{5}{6} + \frac{\cos 1}{120} < \sin 1 < \frac{5}{6} + \frac{1}{120}$

$\frac{5}{6} + \frac{1}{120} = \frac{100}{120} + \frac{1}{120} = \frac{101}{120} \approx 0.8416$

$\frac{100}{120} = \frac{5}{6}$ であるから、$\sin 1 < \frac{101}{120}$ である。

また、

$\sin 1 = 1 - \frac{1}{6} + \frac{\cos \theta}{120}$

$\frac{5}{6} < \sin 1$

$\frac{5}{6} = \frac{100}{120}$

$\frac{99}{120} = \frac{33}{40} = 0.825$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + R_5$

$R_5 = \frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!} x^5 = \frac{\cos(\theta x)}{120} x^5$

$\sin 1 = 1 - \frac{1}{6} + \frac{\cos(\theta)}{120}$

$\frac{5}{6} < \sin 1 < \frac{5}{6} + \frac{1}{120} = \frac{101}{120}$

$\frac{5}{6} = \frac{100}{120}$ であるから、

$\frac{100}{120} < \sin 1 < \frac{101}{120}$

$\frac{100}{120} = \frac{5}{6}$

ゆえに、$\frac{5}{6} < \sin 1 < \frac{101}{120}$ である。

3. 最終的な答え

ア: $x - \frac{x^3}{6}$

イ: $\cos(\theta x)$

ウ: 5

エ: 6

オ: 101

カ: 120