関数 $f(x) = \sin x$ のマクローリン展開を3次まで求め、選択肢の中から該当する係数を選ぶ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin x$ のマクローリン展開を3次まで求め、選択肢の中から該当する係数を選ぶ。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものである。

すなわち、

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$$

ここで、$f(x) = \sin x$ なので、微分を繰り返すと、

$f(x) = \sin x$, $f(0) = \sin 0 = 0$

$f'(x) = \cos x$, $f'(0) = \cos 0 = 1$

$f''(x) = -\sin x$, $f''(0) = -\sin 0 = 0$

$f'''(x) = -\cos x$, $f'''(0) = -\cos 0 = -1$

したがって、3次までのマクローリン展開は、

$$\sin x = 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 = x - \frac{1}{6}x^3$$

したがって、(1)は0、(2)は1、(3)は0、(4)は-1/6となる。

3. 最終的な答え

(1): (a)

(2): (b)

(3): (a)

(4): (n)