次の5つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$ (2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$ (3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin^2 x dx$ (4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$ (5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

1. 問題の内容

次の5つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$

(2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin^2 x dx$

(4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$

(5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、積分すると $\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ となります。

したがって、

$\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{9} = \frac{2}{3}(9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(27) - \frac{2}{3}(1) = 18 - \frac{2}{3} = \frac{52}{3}$

(2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$

$u = x-2$ と置換すると、$x = u+2$、$x+1 = u+3$、$dx = du$ となります。

積分範囲は、$x=2$のとき$u=0$、$x=4$のとき$u=2$となります。

したがって、

$\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx = \int_{0}^{2} (u+3)u^4 du = \int_{0}^{2} (u^5 + 3u^4) du = \left[ \frac{1}{6}u^6 + \frac{3}{5}u^5 \right]_{0}^{2} = \frac{1}{6}(2^6) + \frac{3}{5}(2^5) = \frac{64}{6} + \frac{96}{5} = \frac{32}{3} + \frac{96}{5} = \frac{160+288}{15} = \frac{448}{15}$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin^2 x dx$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (3 - 3\cos 2x) dx = \left[ 3x - \frac{3}{2}\sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 3\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{3}{2}\sin \pi - (0 - 0) = \frac{3\pi}{2}$

(4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$

$\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx = \left[ 3e^{2x} \right]_{0}^{\log 3} = 3e^{2\log 3} - 3e^{0} = 3e^{\log 3^2} - 3 = 3(9) - 3 = 27 - 3 = 24$

(5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

部分積分法を用いて計算します。$u=x$, $dv=e^{-3x}dx$とすると、$du=dx$, $v=-\frac{1}{3}e^{-3x}$となります。

$\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx = \left[ -\frac{1}{3}xe^{-3x} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} -\frac{1}{3}e^{-3x} dx = -\frac{1}{3}e^{-3} - 0 + \frac{1}{3}\int_{0}^{1} e^{-3x} dx = -\frac{1}{3}e^{-3} + \frac{1}{3}\left[ -\frac{1}{3}e^{-3x} \right]_{0}^{1} = -\frac{1}{3}e^{-3} + \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}e^{-3} + \frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{3}e^{-3} - \frac{1}{9}e^{-3} + \frac{1}{9} = -\frac{4}{9}e^{-3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{9} - \frac{4}{9e^3} = \frac{e^3 - 4}{9e^3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{52}{3}$

(2) $\frac{448}{15}$

(3) $\frac{3\pi}{2}$

(4) $24$

(5) $\frac{e^3 - 4}{9e^3}$