与えられた3つの関数をマクローリン展開（テイラー展開の中心が0の場合）せよという問題です。 (1) $f(x) = a^x$ ($a > 0$) (2) $f(x) = \log(1-x)$ ($|x| < 1$) (3) $f(x) = xe^x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をマクローリン展開（テイラー展開の中心が0の場合）せよという問題です。

(1) $f(x) = a^x$ ($a > 0$)

(2) $f(x) = \log(1-x)$ ($|x| < 1$)

(3) $f(x) = xe^x$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = a^x$ のマクローリン展開

$f(x) = a^x$をマクローリン展開するには、各階の導関数を計算し、$x=0$での値を求めます。

$f(x) = a^x$

$f'(x) = a^x \ln a$

$f''(x) = a^x (\ln a)^2$

$f'''(x) = a^x (\ln a)^3$

一般に、$f^{(n)}(x) = a^x (\ln a)^n$

したがって、$f(0) = 1$, $f'(0) = \ln a$, $f''(0) = (\ln a)^2$, $f^{(n)}(0) = (\ln a)^n$となります。

マクローリン展開は次の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

$f(x) = a^x = 1 + (\ln a)x + \frac{(\ln a)^2}{2!}x^2 + \frac{(\ln a)^3}{3!}x^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^n}{n!} x^n$

(2) $f(x) = \log(1-x)$ のマクローリン展開

$f(x) = \log(1-x)$の微分を計算します。

$f'(x) = \frac{-1}{1-x} = -(1-x)^{-1}$

$f''(x) = -(1-x)^{-2}$

$f'''(x) = -2(1-x)^{-3}$

$f^{(4)}(x) = -6(1-x)^{-4}$

一般に、$f^{(n)}(x) = -(n-1)!(1-x)^{-n}$ ($n \ge 1$)

したがって、$f(0) = \log(1) = 0$, $f'(0) = -1$, $f''(0) = -1$, $f'''(0) = -2$, $f^{(4)}(0) = -6$となり、$f^{(n)}(0) = -(n-1)!$となります。

マクローリン展開は次の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = 0 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-(n-1)!}{n!} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} -\frac{x^n}{n}$

よって、$f(x) = \log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

(3) $f(x) = xe^x$ のマクローリン展開

$e^x$のマクローリン展開は$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$です。

したがって、$xe^x = x \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n-1)!}$となります。

$xe^x = x + x^2 + \frac{x^3}{2!} + \frac{x^4}{3!} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n-1)!}$

3. 最終的な答え

(1) $a^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^n}{n!} x^n$

(2) $\log(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

(3) $xe^x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n-1)!}$