与えられた6つの関数 $y=x^4$, $y=\sqrt{x}$, $y=\frac{1}{x}$, $y=e^x$, $y=\cos x$, $y=\sin x$ の不定積分を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数 $y=x^4$, $y=\sqrt{x}$, $y=\frac{1}{x}$, $y=e^x$, $y=\cos x$, $y=\sin x$ の不定積分を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^4$ の不定積分

不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いると、

$\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{1}{5}x^5 + C$

選択肢 d

(2) $y = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ の不定積分

不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いると、

$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$

選択肢 b

(3) $y = \frac{1}{x}$ の不定積分

不定積分の公式 $\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C$ を用いると、

$\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C$

選択肢 h

(4) $y = e^x$ の不定積分

不定積分の公式 $\int e^x dx = e^x + C$ を用いると、

$\int e^x dx = e^x + C$

選択肢 a

(5) $y = \cos x$ の不定積分

不定積分の公式 $\int \cos x dx = \sin x + C$ を用いると、

$\int \cos x dx = \sin x + C$

選択肢 i

(6) $y = \sin x$ の不定積分

不定積分の公式 $\int \sin x dx = -\cos x + C$ を用いると、

$\int \sin x dx = -\cos x + C$

選択肢 m

3. 最終的な答え

(1) d

(2) b

(3) h

(4) a

(5) i

(6) m