関数 $y = -x^2 + 2x - 1$ の極値点と極値を求める問題です。極値点の $x$ 座標を小さい順に (A), (B) に答え、それぞれの $x$ 座標における $y$ の値を答えます。極値点が1つしかない場合は(B)の解答を全て-とします。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2x - 1$ の極値点と極値を求める問題です。極値点の $x$ 座標を小さい順に (A), (B) に答え、それぞれの $x$ 座標における $y$ の値を答えます。極値点が1つしかない場合は(B)の解答を全て-とします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。

$y' = -2x + 2$

次に、導関数が 0 となる $x$ の値を求めます。

$-2x + 2 = 0$

$2x = 2$

$x = 1$

$x=1$ の前後で $y'$ の符号が変化するか確認します。

- $x < 1$ のとき, 例えば $x=0$ を代入すると、$y' = -2(0) + 2 = 2 > 0$ なので、$y$ は増加します。

- $x > 1$ のとき, 例えば $x=2$ を代入すると、$y' = -2(2) + 2 = -2 < 0$ なので、$y$ は減少します。

したがって、$x = 1$ で極大値をとり、極小値はありません。$x=1$ のとき、$y = -(1)^2 + 2(1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$ となります。極値点は1つしかないので、 (B)の解答を全て-とします。

(A) $x$ 座標は $x = 1$。

(A) $y$ 座標は $y = 0$。

(B) 極値点は1つなので、すべての解答を - とします。

3. 最終的な答え

(A) $x= 1$ に (2) 極大値があり、(3) $y= 0$ をとる。

(B) $x= -$ に (6) -があり、(7) $y= -$ をとる