与えられた関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分して、$y'$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分して、$y'$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$u = x \log x - x$ と置くと、$y = u^2$ となります。

合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を使います。

$\frac{dy}{du} = 2u$ なので、$\frac{dy}{du} = 2(x \log x - x)$ となります。

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。$u = x \log x - x$ なので、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x \log x) - \frac{d}{dx}(x)$

積の微分公式 $\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を使って、

$\frac{d}{dx}(x \log x) = \frac{d}{dx}(x) \log x + x \frac{d}{dx}(\log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

よって、

$\frac{du}{dx} = (\log x + 1) - 1 = \log x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2(x \log x - x) \cdot \log x$

3. 最終的な答え

$y' = 2(x \log x - x) \log x$