自然数 $n$ に対して、$S_n = \int_1^e (\log x)^n dx$ とする。 (1) $S_1$ を求めよ。 (2) $S_{n+1}$ を $S_n$ と $n$ の式で表せ。 (3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。 (4) $\lim_{n \to \infty} nS_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$S_n = \int_1^e (\log x)^n dx$ とする。

(1) $S_1$ を求めよ。

(2) $S_{n+1}$ を $S_n$ と $n$ の式で表せ。

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

(4) $\lim_{n \to \infty} nS_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $S_1 = \int_1^e \log x dx$ を計算する。部分積分を用いる。$\log x = u, 1 = dv$ とすると、 $du = \frac{1}{x}dx, v = x$ なので、

$S_1 = [x\log x]_1^e - \int_1^e x\cdot \frac{1}{x}dx = [x\log x]_1^e - \int_1^e 1dx = (e\log e - 1\log 1) - [x]_1^e = (e - 0) - (e - 1) = 1$

(2) $S_{n+1} = \int_1^e (\log x)^{n+1} dx$ を計算する。部分積分を用いる。$(\log x)^{n+1} = u, 1 = dv$ とすると、$du = (n+1)(\log x)^n \cdot \frac{1}{x}dx, v = x$ なので、

$S_{n+1} = [x(\log x)^{n+1}]_1^e - \int_1^e x(n+1)(\log x)^n \cdot \frac{1}{x}dx = [x(\log x)^{n+1}]_1^e - (n+1)\int_1^e (\log x)^n dx = (e(\log e)^{n+1} - 1(\log 1)^{n+1}) - (n+1)S_n = e - (n+1)S_n$

したがって、$S_{n+1} = e - (n+1)S_n$

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める。

$S_1=1$, $S_2 = e - 2S_1 = e-2 \approx 0.718$, $S_3 = e - 3S_2 = e - 3(e-2) = 6-2e \approx 0.563$, $S_4 = e - 4S_3 = e - 4(6-2e) = 9e-24 \approx 0.415$

$0 \le \log x \le 1$ for $1 \le x \le e$.

Therefore $0 \le (\log x)^n \le 1$ for $1 \le x \le e$. Then $0 \le S_n \le \int_1^e 1dx = e-1$ for all $n$.

$x=e^{t}$, $dx=e^{t}dt$, $S_n = \int_{0}^{1}t^{n}e^{t}dt$

Since $t \in [0, 1]$, $e^{t} < e^{1} = e$, $S_n < e \int_{0}^{1}t^{n}dt = e\frac{t^{n+1}}{n+1}|_{0}^{1} = \frac{e}{n+1}$.

Therefore $\lim_{n \to \infty} S_n \le \lim_{n \to \infty} \frac{e}{n+1} = 0$. Therefore $\lim_{n \to \infty} S_n = 0$

(4) $\lim_{n \to \infty} nS_n$ を求める。

$S_{n+1} = e - (n+1)S_n$, $(n+1)S_n = e - S_{n+1}$. Therefore, $nS_n = e - S_{n+1} - S_n$.

We have $\lim_{n \to \infty} S_n = 0$. $\lim_{n \to \infty} S_{n+1} = 0$. Therefore $\lim_{n \to \infty} nS_n = e - 0 - 0 = e$.

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = 1$

(2) $S_{n+1} = e - (n+1)S_n$

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n = 0$

(4) $\lim_{n \to \infty} nS_n = e$