媒介変数 $t$ で表された曲線について、指定された $t$ の値に対応する点の座標と、その点における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線について、指定された $t$ の値に対応する点の座標と、その点における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x = 1 + t^2$, $y = 1 - 2t$ ($t = -1$) の場合

* **点の座標の計算:**

$t = -1$ を $x$ と $y$ の式に代入して、点の座標を求めます。

$x = 1 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$

$y = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$

したがって、点の座標は $(2, 3)$ です。

* **接線の傾きの計算:**

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = 2t$

$\frac{dy}{dt} = -2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{2t} = -\frac{1}{t}$

$t = -1$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{-1} = 1$

したがって、接線の傾きは $1$ です。

* **接線の方程式の計算:**

点 $(2, 3)$ を通り、傾き $1$ の直線の方程式は、

$y - 3 = 1(x - 2)$

$y = x + 1$

(2) $x = 2\sin{2t}$, $y = \sin{3t}$ ($t = \frac{\pi}{3}$) の場合

* **点の座標の計算:**

$t = \frac{\pi}{3}$ を $x$ と $y$ の式に代入して、点の座標を求めます。

$x = 2\sin{\frac{2\pi}{3}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$y = \sin{\pi} = 0$

したがって、点の座標は $(\sqrt{3}, 0)$ です。

* **接線の傾きの計算:**

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = 4\cos{2t}$

$\frac{dy}{dt} = 3\cos{3t}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos{3t}}{4\cos{2t}}$

$t = \frac{\pi}{3}$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos{\pi}}{4\cos{\frac{2\pi}{3}}} = \frac{3(-1)}{4(-\frac{1}{2})} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$

したがって、接線の傾きは $\frac{3}{2}$ です。

* **接線の方程式の計算:**

点 $(\sqrt{3}, 0)$ を通り、傾き $\frac{3}{2}$ の直線の方程式は、

$y - 0 = \frac{3}{2}(x - \sqrt{3})$

$y = \frac{3}{2}x - \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 点の座標: $(2, 3)$, 接線の方程式: $y = x + 1$

(2) 点の座標: $(\sqrt{3}, 0)$, 接線の方程式: $y = \frac{3}{2}x - \frac{3\sqrt{3}}{2}$