与えられた関数を積分する問題です。ここでは、(7) の関数 $f(x) = \frac{2}{x^2 - 3}$ の積分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数を積分する問題です。ここでは、(7) の関数 $f(x) = \frac{2}{x^2 - 3}$ の積分を求めます。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = \frac{2}{x^2 - 3}$ を部分分数分解します。

$x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$ と因数分解できるので、

$\frac{2}{x^2 - 3} = \frac{A}{x - \sqrt{3}} + \frac{B}{x + \sqrt{3}}$ と置きます。

両辺に $x^2 - 3$ をかけると、

$2 = A(x + \sqrt{3}) + B(x - \sqrt{3})$

$2 = (A + B)x + (A - B)\sqrt{3}$

したがって、$A + B = 0$ かつ $(A - B)\sqrt{3} = 2$

$A = -B$ を $(A - B)\sqrt{3} = 2$ に代入すると、

$(A - (-A))\sqrt{3} = 2$

$2A\sqrt{3} = 2$

$A = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$B = -A = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

よって、

$\frac{2}{x^2 - 3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{x - \sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{x + \sqrt{3}}$

したがって、積分は

$\int \frac{2}{x^2 - 3} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{x - \sqrt{3}} dx - \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{x + \sqrt{3}} dx$

$= \frac{1}{\sqrt{3}} \ln|x - \sqrt{3}| - \frac{1}{\sqrt{3}} \ln|x + \sqrt{3}| + C$

$= \frac{1}{\sqrt{3}} (\ln|x - \sqrt{3}| - \ln|x + \sqrt{3}|) + C$

$= \frac{1}{\sqrt{3}} \ln\left|\frac{x - \sqrt{3}}{x + \sqrt{3}}\right| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{3}} \ln\left|\frac{x - \sqrt{3}}{x + \sqrt{3}}\right| + C$