問題は以下の2つです。 (1) 正の実数 $a$ に対して、$F(a) = \int_0^a (x + \frac{a}{2}) \sqrt{a-x} dx$ を求めよ。 (2) $a$ が正の実数全体を動くとき、$F(a)$ の最大値と、最大値を与える $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) 正の実数 $a$ に対して、$F(a) = \int_0^a (x + \frac{a}{2}) \sqrt{a-x} dx$ を求めよ。

(2) $a$ が正の実数全体を動くとき、$F(a)$ の最大値と、最大値を与える $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $F(a)$ を求める。

まず、積分を計算するために、$t = a-x$ と置換します。

$x = a-t$ となり、$dx = -dt$ となります。

積分範囲は、$x: 0 \to a$ から $t: a \to 0$ に変わります。

よって、

$F(a) = \int_a^0 (a-t + \frac{a}{2}) \sqrt{t} (-dt) = \int_0^a (\frac{3a}{2} - t) \sqrt{t} dt = \int_0^a (\frac{3a}{2} t^{1/2} - t^{3/2}) dt$

$= \left[ \frac{3a}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} - \frac{2}{5} t^{5/2} \right]_0^a = a \cdot a^{3/2} - \frac{2}{5} a^{5/2} = a^{5/2} - \frac{2}{5} a^{5/2} = \frac{3}{5} a^{5/2}$

したがって、$F(a) = \frac{3}{5} a^{5/2}$

(2) $F(a)$ の最大値を求める。

$F(a) = \frac{3}{5} a^{5/2}$ なので、$a > 0$ の範囲で $F(a)$ は単調増加関数です。したがって、$a$ が正の実数全体を動くとき、$F(a)$ に最大値は存在しません。

しかし、もし問題に $a$ の範囲の制約がある場合、その範囲で最大値を求めることができます。例えば、$0 < a \le k$ ($k$ は定数)であれば、$F(a)$ は $a = k$ で最大値をとります。

問題文に $a$ の範囲の指定がないので、ここでは最大値は存在しないと回答します。もし仮に、$a$ が $a>0$である以外に制限があるならば、その範囲内で $F(a)$ の最大値を求める必要があります。

$F'(a) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{2} a^{3/2} = \frac{3}{2} a^{3/2}$

$F'(a) > 0$ なので、$F(a)$ は増加関数です。

3. 最終的な答え

(1) $F(a) = \frac{3}{5} a^{5/2}$

(2) $F(a)$ に最大値は存在しません。$a$ の範囲に制限がないため、$a$ が大きくなるにつれて $F(a)$ も大きくなります。