次の極限値を求めよ。 (9) $\lim_{x \to \infty} (\frac{2}{x} + 1)^x$ (10) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{\sin x}$ (11) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{e^{\sin x} - e}{x}$ (12) $\lim_{x \to +0} (\log x) \log(1+x)$

1. 問題の内容

次の極限値を求めよ。

(9) $\lim_{x \to \infty} (\frac{2}{x} + 1)^x$

(10) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{\sin x}$

(11) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{e^{\sin x} - e}{x}$

(12) $\lim_{x \to +0} (\log x) \log(1+x)$

2. 解き方の手順

(9) $\lim_{x \to \infty} (\frac{2}{x} + 1)^x$

これは、$1^\infty$の不定形なので、$e$の定義を利用する。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$ を利用する。

$\lim_{x \to \infty} (\frac{2}{x} + 1)^x = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x = e^2$

(10) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{\sin x}$

$y = (\sin x)^{\sin x}$とおく。

$\log y = \sin x \log (\sin x)$

$\lim_{x \to +0} \log y = \lim_{x \to +0} \sin x \log (\sin x)$

$\lim_{x \to +0} \sin x \log (\sin x) = \lim_{x \to +0} \frac{\log (\sin x)}{\frac{1}{\sin x}}$

これは $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to +0} \frac{\log (\sin x)}{\frac{1}{\sin x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = \lim_{x \to +0} (-\sin x) = 0$

したがって、$\lim_{x \to +0} \log y = 0$

よって、$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$

(11) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{e^{\sin x} - e}{x}$

$x = \frac{\pi}{2}$ を代入すると、$\frac{e^{\sin \frac{\pi}{2}} - e}{\frac{\pi}{2}} = \frac{e^1 - e}{\frac{\pi}{2}} = \frac{0}{\frac{\pi}{2}} = 0$

(12) $\lim_{x \to +0} (\log x) \log(1+x)$

$x \to 0$のとき、$\log (1+x) \approx x$ なので、

$\lim_{x \to +0} (\log x) \log(1+x) = \lim_{x \to +0} x \log x$

ここで、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +0$ のとき $t \to \infty$ なので、

$\lim_{x \to +0} x \log x = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \log (\frac{1}{t}) = \lim_{t \to \infty} \frac{-\log t}{t}$

これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{t \to \infty} \frac{-\log t}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{-\frac{1}{t}}{1} = \lim_{t \to \infty} -\frac{1}{t} = 0$

3. 最終的な答え

(9) $e^2$

(10) $1$

(11) $0$

(12) $0$