半径1の円を底面とし、高さ$\frac{1}{\sqrt{2}}$の直円柱がある。底面の円の中心をOとし、直径ABをとる。ABを含み、底面と45°の角度をなす平面で直円柱を2つに分けるとき、体積の小さい方の部分をVとする。 (1) 直径ABと直交し、Oとの距離が$t$ ($0 \le t \le 1$) であるような平面でVを切ったときの断面積$S(t)$を求めよ。 (2) Vの体積を求めよ。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

半径1の円を底面とし、高さ$\frac{1}{\sqrt{2}}$の直円柱がある。底面の円の中心をOとし、直径ABをとる。ABを含み、底面と45°の角度をなす平面で直円柱を2つに分けるとき、体積の小さい方の部分をVとする。

(1) 直径ABと直交し、Oとの距離が$t$ ($0 \le t \le 1$) であるような平面でVを切ったときの断面積$S(t)$を求めよ。

(2) Vの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 断面積$S(t)$を求める。

直径ABと直交し、Oとの距離が$t$である平面を考える。この平面と底面との交線は、ABに平行な直線となる。この直線と底面の円との交点を考える。

これらの交点をP, Qとすると、OP = OQ = 1であり、円の中心Oから直線PQまでの距離は$t$である。したがって、PQの中点をMとすると、OM = $t$である。

直角三角形OMPにおいて、三平方の定理より、$MP^2 = OP^2 - OM^2 = 1 - t^2$。よって、$MP = \sqrt{1 - t^2}$となる。

したがって、$PQ = 2\sqrt{1 - t^2}$である。

次に、平面Vと、直径ABと直交し、Oとの距離が$t$である平面との交線を考える。この交線はPQを底辺とする直角三角形の高さに当たる。

問題文より、平面Vは底面と45°の角度をなすので、この直角三角形の高さは$PQ \times \tan{45^\circ} = PQ = 2\sqrt{1-t^2}$となる。

したがって、求める断面積S(t)は、

$S(t) = \frac{1}{2} \times PQ \times (PQ \times \tan{45^\circ}) = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{1-t^2} \times 2\sqrt{1-t^2} = 2(1 - t^2)$

(2) Vの体積を求める。

Vの体積は、断面積$S(t)$を$t$について$t = -1$から$t = 1$まで積分することで求められる。ただし、$0 \le t \le 1$である範囲で考えればよい。

$V = \int_{-1}^{1} S(t) \, dt = 2 \int_{0}^{1} S(t) \, dt$（S(t)は偶関数なので）

$V = 2 \int_{0}^{1} 2(1 - t^2) \, dt = 4 \int_{0}^{1} (1 - t^2) \, dt = 4 \left[ t - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{1} = 4\left( 1 - \frac{1}{3} \right) = 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $S(t) = 2(1 - t^2)$

(2) $V = \frac{8}{3}$