$n$ を自然数とする。実数 $x, y$ がすべての実数を動くとき、定積分 $I_n = \int_0^1 (\sin(2\pi n t) - xt - y)^2 dt$ の最小値を $I_n$ とおく。極限 $\lim_{n \to \infty} I_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とする。実数 $x, y$ がすべての実数を動くとき、定積分 $I_n = \int_0^1 (\sin(2\pi n t) - xt - y)^2 dt$ の最小値を $I_n$ とおく。極限 $\lim_{n \to \infty} I_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$I_n$ を $x, y$ について最小化します。$I_n$ を $x, y$ の関数とみて、偏微分を計算し、それが0となる点を求めます。

$\frac{\partial I_n}{\partial x} = \int_0^1 2(\sin(2\pi n t) - xt - y)(-t) dt = 0$

$\frac{\partial I_n}{\partial y} = \int_0^1 2(\sin(2\pi n t) - xt - y)(-1) dt = 0$

これらの式を整理すると、

$\int_0^1 t\sin(2\pi n t) dt - x\int_0^1 t^2 dt - y\int_0^1 t dt = 0$

$\int_0^1 \sin(2\pi n t) dt - x\int_0^1 t dt - y\int_0^1 dt = 0$

$\int_0^1 t\sin(2\pi n t) dt = \left[ t \cdot \frac{-\cos(2\pi n t)}{2\pi n} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{-\cos(2\pi n t)}{2\pi n} dt = \frac{-1}{2\pi n} + \left[ \frac{\sin(2\pi n t)}{(2\pi n)^2} \right]_0^1 = -\frac{1}{2\pi n}$

$\int_0^1 \sin(2\pi n t) dt = \left[ \frac{-\cos(2\pi n t)}{2\pi n} \right]_0^1 = 0$

$\int_0^1 t^2 dt = \frac{1}{3}$, $\int_0^1 t dt = \frac{1}{2}$, $\int_0^1 dt = 1$

したがって、次の連立方程式が得られます。

$-\frac{1}{2\pi n} - \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 0$

$0 - \frac{x}{2} - y = 0$

2番目の式より、$y = -\frac{x}{2}$

これを1番目の式に代入すると、

$-\frac{1}{2\pi n} - \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 0$

$-\frac{1}{2\pi n} - \frac{x}{12} = 0$

$x = -\frac{12}{2\pi n} = -\frac{6}{\pi n}$

$y = -\frac{x}{2} = \frac{3}{\pi n}$

この $x, y$ の値を $I_n$ に代入して最小値を求めます。

$I_n = \int_0^1 (\sin(2\pi n t) + \frac{6}{\pi n}t - \frac{3}{\pi n})^2 dt$

$I_n = \int_0^1 \sin^2(2\pi n t) dt + \int_0^1 (\frac{6}{\pi n}t - \frac{3}{\pi n})^2 dt + 2\int_0^1 \sin(2\pi n t) (\frac{6}{\pi n}t - \frac{3}{\pi n}) dt$

$\int_0^1 \sin^2(2\pi n t) dt = \int_0^1 \frac{1 - \cos(4\pi n t)}{2} dt = \frac{1}{2} - \left[ \frac{\sin(4\pi n t)}{8\pi n} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$

$\int_0^1 (\frac{6}{\pi n}t - \frac{3}{\pi n})^2 dt = (\frac{3}{\pi n})^2 \int_0^1 (2t - 1)^2 dt = \frac{9}{\pi^2 n^2} \int_0^1 (4t^2 - 4t + 1) dt = \frac{9}{\pi^2 n^2} (\frac{4}{3} - 2 + 1) = \frac{9}{\pi^2 n^2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{\pi^2 n^2}$

$2\int_0^1 \sin(2\pi n t) (\frac{6}{\pi n}t - \frac{3}{\pi n}) dt = \frac{12}{\pi n} \int_0^1 t \sin(2\pi n t) dt - \frac{6}{\pi n} \int_0^1 \sin(2\pi n t) dt = \frac{12}{\pi n} (-\frac{1}{2\pi n}) - \frac{6}{\pi n} (0) = -\frac{6}{\pi^2 n^2}$

$I_n = \frac{1}{2} + \frac{3}{\pi^2 n^2} - \frac{6}{\pi^2 n^2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{\pi^2 n^2}$

$\lim_{n \to \infty} I_n = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} - \frac{3}{\pi^2 n^2}) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$