自然数 $n$ に対して、$S_n = \int_1^e (\log x)^n dx$ とする。 (1) $S_1$ を求めよ。 (2) $S_{n+1}$ を $S_n$ と $n$ の式で表せ。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$S_n = \int_1^e (\log x)^n dx$ とする。

(1) $S_1$ を求めよ。

(2) $S_{n+1}$ を $S_n$ と $n$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $S_1$ を求める。

$S_1 = \int_1^e \log x dx$ を計算する。部分積分を行う。

$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となる。

よって、

$S_1 = [x \log x]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} dx = [x \log x]_1^e - \int_1^e 1 dx = [x \log x]_1^e - [x]_1^e = (e \log e - 1 \log 1) - (e - 1) = (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - (e - 1) = e - e + 1 = 1$

(2) $S_{n+1}$ を $S_n$ と $n$ の式で表す。

$S_{n+1} = \int_1^e (\log x)^{n+1} dx$ を計算する。部分積分を行う。

$u = (\log x)^{n+1}$, $dv = dx$ とすると、$du = (n+1)(\log x)^n \cdot \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となる。

よって、

$S_{n+1} = [x (\log x)^{n+1}]_1^e - \int_1^e x \cdot (n+1)(\log x)^n \cdot \frac{1}{x} dx = [x (\log x)^{n+1}]_1^e - (n+1) \int_1^e (\log x)^n dx = [x (\log x)^{n+1}]_1^e - (n+1) S_n = (e (\log e)^{n+1} - 1 (\log 1)^{n+1}) - (n+1) S_n = (e \cdot 1^{n+1} - 1 \cdot 0^{n+1}) - (n+1) S_n = e - (n+1) S_n$

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = 1$

(2) $S_{n+1} = e - (n+1)S_n$